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Espaço $T_0$
Definição
Um espaço topológico $(X, \tau)$ é chamado de $T_0$ quando dados quaisquer $x,y \in X$ tais que $x \neq y$, existe um aberto $A$ tal que $$ (x \in A ~~ \text{e} ~~ y \notin A) ~~~~~~ \text{ou} ~~~~~~ (x \notin A ~~ \text{e} ~~ y \in A). $$
Na figura ao lado, se $(X,\tau)$ é $T_0$ então pelo menos um dos abertos $A$ ou $B$ devem existir, de acordo com a definição.
Para provar que um espaço topológico não é $T_0$, basta negar a definição, ou seja, é necessário encontrar pontos distintos $x$ e $y$ tais que, para qualquer aberto $A$, tem-se $x \in A \iff y \in A$.
Exemplos
- O conjunto $X = \{ x \}$ munido da topologia $\tau = \{ \varnothing, \{x\} \}$ (a única possível) é $T_0$, pois sequer existem $x$ e $y$ distintos em $X$ para se negar a definição.
- Qualquer conjunto $X$ de cardinalidade maior que $1$, munido da topologia $\tau = \{ \varnothing, X \}$, não é $T_0$. De fato, dados $x,y \in X$ distintos, o único aberto que pode conter $x$ ou $y$ é o próprio $X$, mas $X \supset \{ x,y \}$, portanto, o axioma $T_0$ não pode ser satisfeito.
A proposição seguinte fornece uma caracterização para espaços $T_0$.
Proposição
Um espaço topológico $(X,\tau)$ é $T_0$ se, e somente se, para todos $x,y \in X$ distintos e bases locais $\mathcal{B}_x$ e $\mathcal{B}_y$ de $x$ e $y$, respectivamente, tem-se $\mathcal{B}_x \neq \mathcal{B}_y$.