Definição: Espaço Métrico
Seja $X$ um conjunto. Dizemos que $(X, d)$ é um espaço métrico se $d: X \times X \to \mathbb R$ é uma função que satisfaz, para todo $x, y, z \in X$:
$d(x, y) \geq 0$;
$d(x, y) = 0$ se, e somente se, $x = y$;
$d(x, y) = d(y, x)$;
$d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y)$.
Nesse caso, dizemos que $d$ é uma métrica sobre $X$.
Definição: Espaço Topológico
Seja $X$ um conjunto. Dizemos que $(X, \tau)$ é um espaço topológico se $\tau$ é uma família de subconjuntos de $X$ satisfazendo:
$\emptyset, X \in \tau$;
se $A, B \in \tau$, $A \cap B \in \tau$;
se $C_i \in \tau$ para cada $i \in I$, então $\bigcup_{i \in I} C_i \in \tau$.
Nesse caso dizemos que $\tau$ é uma topologia sobre $X$ e que cada $C \in \tau$ é um aberto.
Mostre que, dado $X$, $\{\emptyset, X\}$ é uma topologia sobre $X$. Essa topologia é chamada de caótica.
Mostre que, dado $X$, $\wp(X)$ (isto é, o conjunto de todos os subconjuntos de $X$) é uma topologia sobre $X$. Essa topologia é chamada de discreta.
Seja $(X, d)$ um espaço métrico. Dizemos que um conjunto $A \subset X$ é folgado se, para todo $a \in A$ existe $r > 0$ tal que $B_r(a) \subset A$, onde $B_r(a) = \{b \in X: d(a, b) < r$ (tal conjunto é chamado de bola aberta de centro $a$ e raio $r$). Mostre que $\tau = \{A \subset X: A$ é folgado$\}$ é uma topologia sobre $X$. Tal topologia é chamada de topologia induzida pela métrica $d$.
Considere $\mathbb R$ e $\tau = \{A \subset \mathbb R: \forall x \in A \ \exists r > 0 \ [a, a + r[ \subset A\}$. Mostre que $\tau$ é uma topologia sobre $\mathbb R$. Com tal topologia chamamos o espaço de reta de Sorgenfrey.
Definição: Vizinhança
Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Dado $x \in X$, dizemos que $V \subset X$ é uma vizinhança de $x$ se existe $A$ aberto tal que $x \in A \subset V$.
Mostre que todo aberto usual nos reais é um aberto na reta de Sorgenfrey.
Seja $X$ conjunto não vazio e seja $\sigma$ uma topologia sobre $X$. Mostre que $\sigma$ é a topologia discreta se, e somente se, $\{x\} \in \sigma$ para todo $\sigma$.
Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Seja $Y \subset X$ e considere $\sigma = \{A \cap Y : A \in \tau \}$.
Mostre que $\sigma$ é uma topologia sobre $Y$ (esta é conhecida como topologia de subespaço. Em geral, em uma situação $Y \subset X$, se nada for dito, estamos supondo em $Y$ esta topologia).
Considere ainda $[0,1]$ com a topologia de subespaço de $\mathbb R$. Mostre que $[0,\frac{1}{2}[$ é aberto em $[0,1]$ mas não é aberto em $\mathbb R$.
Seja $X$ um conjunto qualquer e considere $\tau = \{A \subset X : X \backslash A \textrm{ é finito} \} \cup \{ \emptyset \}$.
Mostre que $\tau$ é uma topologia (essa topologia é chamada de topologia cofinita).
Mostre ainda que $\tau$ é a topologia discreta se, e somente se, $X$ é finito.
Fixe $X$ um conjunto infinito. Considere $\tau = \{A \subset X : A \textrm{ é infinito} \} \cup \{ \emptyset \}$. Note que $\tau$ não é uma topologia e compare com a definição de topologia cofinita.
Mostre que um conjunto $A$ é aberto se, e somente se, para todo $a \in A$, $A$ é vizinhança de $a$.