Definição (Levantamento)

Considere $(X,\tau)$, $(\tilde{X},\rho)$, $(Y,\sigma)$ espaços topológicos e $p: \tilde{X} \rightarrow X$ uma função contínua.

Sejam $f: Y \rightarrow X$ e $g: Y \rightarrow \tilde{X}$ funções contínuas. A função $g$ é dita ser um levantamento para $f$ se $f = p\circ g$. Isto é, $g$ é tal que o diagrama abaixo comuta.

Exemplo

Tome $X=S^1=\lbrace (x,y): x^2 + y^2 =1 \rbrace$, $\tilde{X}=\mathbb{R}$, $Y=[0,1]$. Tome $p$ tal que $p(t)= (cos(2\pi t), sin(2\pi t))$.

Defina, para cada $z \in \mathbb{Z}$, $f_z: [0,1] \rightarrow S^1$ tal que $f_z(t) = (cos(2\pi zt), sin(2\pi zt))$.

Assim, note que $g_z: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $g_z(t)= zt$ é um levantamento para $f_z$, ou seja, $f_z = p \circ g_z$.

Definição (Espaço de recobrimento)

Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico.

Um espaço de recobrimento é um espaço topológico $(\tilde{X},\rho)$ e uma função $p:\tilde{X} \rightarrow X$ tais que:

* $\forall$ $x \in X$, $\exists$ $A$ aberto tal que $x \in A$;

* $p^{-1}[A]$ $=$ \(\underset{i \in I}{\bigcup}A_i\), onde cada $A_i$ é um aberto e $A_i \cap A_j = \emptyset $ para $i \neq j$;

* $p_i$ $:=$ $p \upharpoonright A_i$ é um homeomorfismo.

Afim de exemplificar a situação acima, diz-se simplesmente que $p:\tilde{X} \rightarrow X$ é um espaço de recobrimento

Proposição

Seja $p:\tilde{X} \rightarrow X$ um espaço de recobrimento e $\varphi: Y \rightarrow X$ uma função contínua.

Sejam $f, g: Y \rightarrow \tilde{X}$ levantamentos para $\varphi$. Então $D=\{y \in Y : f(y) = g(y)\}$ é um aberto.

Demonstração

Corolário

Seja $p: \tilde{X} \rightarrow X$ um espaço de recobrimento em que $X$ é Hausdorff.

Seja $\varphi : Y \rightarrow X$ uma função contínua em que $Y$ é um espaço conexo.

Se $f, g$ são dois levantamentos para $\varphi$ tais que $\exists$ $y \in Y$ tal que $f(y) = g(y)$, então $f = g$.

Demonstração