Espaço de recobrimento

Definição: Levantamento de função

Sejam $(X,\tau)$, $(X_L,\rho)$, $(Y,\sigma)$ espaços topológicos. Dadas $f: Y \rightarrow X$ e $p: X_L \rightarrow X$ funções contínuas, chamamos de levantamento de $f$ uma função $g: Y \rightarrow X_L$ contínua e tal que $ p\circ g = f$.

Seja $S^1={\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2+y^2=1\}}$.
Dado $z \in \mathbb{Z}$, defina $\omega_z: [0,1] \rightarrow S^1$ por $\omega_z(t)=(cos(2\pi zt), sen(2\pi zt)) $.
Encontre um levantamento para $\omega_z$ com relação a função $p: \mathbb{R} \rightarrow S^1$ dada por $p(t)=(cos(2\pi t), sen(2\pi t)) $.

Definição: Espaço de recobrimento

Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico. Um espaço de recobrimento para $(X,\tau)$ é um espaço topológico $(X_L,\rho)$, juntamente com uma função contínua $p: X_L \rightarrow X$ tais que $\forall \, x \in X \, \, \exists \, A \in \tau, x \, \in \, A$ tal que $p^{-1}[A]=\bigcup_{i \in I} A_i$ onde $A_i\in \rho \, \, \forall \, i\in I, A_i\cap A_j=\emptyset$ se $i \neq j$ e $p\vert_{A_i}$ é um homeomorfismo $\forall i\in I$.

Proposição

Seja $(X_L,p)$ um espaço de recobrimento para $X$. Seja $\phi: Y \rightarrow X$ uma função contínua. Dados dois levantamentos $f,g: Y \rightarrow X^1$ para $\phi$, temos que $G={\{y \in Y:f(y)=g(y)\}}$ é aberto.

Demonstração:

Tome $y \in G$ e $A$ aberto da definição de espaço de recobrimento com $\phi(y)\in A$. Tome $A_i$ aberto homeomorfo a $A$ com $f(y)=g(y)\in A_i$.
Utilize da continuidade de $f$ e $g$ para encontrar abertos $V$ e $W$, ambos contendo $y$ e com uma propriedade natural.
Observe que $p[f(y)]=\phi(y)=p[g(y)] \, \forall \, y \in Y$ e mostre que $V \cap W \subset G$.

Corolário

Seja $(X_L,p)$ um espaço de recobrimento para $X$ onde $X$ é Hausdorff. Seja $Y$ conexo e $\phi: Y \rightarrow X$ uma função contínua. Dados dois levantamentos $f,g: Y \rightarrow X^1$ para $\phi$. Se existe $y \in Y$ tal que $f(y)=g(y)$ então $f=g$.

Demonstração:

Seja $(X_L,p)$ um espaço de recobrimento para $X$. Mostre que se $X$ é Hausdorff, então $X_L$ também é.
Mostre que a diagonal $D={\{(x,y) \in X\times X:x=y\}}$ é um conjunto fechado se $X$ for Hausdorff.
Utilize que $Y$ é conexo e conclua o resultado.

Levantando homotopias

Lema

Seja $(X_L,p)$ um espaço de recobrimento para $X$ e $f: Y \rightarrow X$ uma função contínua. Dados $C$ conexo de $Y$ com $f[C] \subset A$, onde $A$ é um aberto da definição de espaço de recobrimento e $g: Y \rightarrow X_L$ um levantamento para $f$, temos que existe $i \in I$ tal que $g[C] \subset A_i$.

Demonstração:

$g[C]$ é conexo e $g[C] \subset \bigcup_{i \in I} A_i$.
Notar que $A_i\cap A_j=\emptyset$ se $i \neq j$ e concluir o resultado.

Lema

Seja $(X_L,p)$ um espaço de recobrimento para $X$ e $f: Y \rightarrow X$ uma função contínua. Seja $f_V: V \rightarrow X_L$ levantamento para $f\vert_V$, $V$ aberto. Se $W$ é aberto tal que $f[W]\subset A$ para algum $A$ da definição de espaço de recobrimento e $V\cap W$ é conexo não vazio, então $f_V$ pode ser estendida a um levantamento de $f\vert_{V\cup W}$.

Demonstração:

Dado $y_0\in V\cap W$, note que existe $A_i$ tal que $f_V(y_0)\in A_i$.
Defina $f_W: W \rightarrow X_L$ como $p_i^{-1}\circ f$.
Conclua do lema anterior que $f_V[V\cap W]\subset A_i$ e que então $f_V$ e $f_W$ coincidem em $V\cap W$.
Mostre que $g: V\cup W \rightarrow X_L$ dada por:

$$g(x)=\left\{\begin{array}{cc} f_V\left(x\right), & \text { se } x\in V \\ f_W\left(x\right), & \text { se } x\in W \end{array}\right.$$

é levantamento de $f\vert_{V\cup W}$.

Proposição

Sejam $(X_L,p)$ um espaço de recobrimento para $X$ e $f: [0,1]\times [0,1] \rightarrow X$ uma função contínua. Dado $y_0 \in [0,1]\times [0,1]$ e fixado $x_0 \in X_L$ tais que $p(x_0)=f(y_0)$, existe um único levantamento $g: [0,1]\times [0,1] \rightarrow X_L$ tal que $g(y_0)=x_0$.

Demonstração:

Utilize da definição de espaço de recobrimento para construir uma cobertura aberta $\zeta$ para $[0,1]\times [0,1]$ via imagem inversa de $f$ com a propriedade de que dado $C\in \zeta$ exista $A_C$ um aberto da definição de espaço de recobrimento tal que $f[C]\subset A_C$.
Tome um número de Lebesgue para $\zeta$.
Cubra $[0,1]\times [0,1]$ por $n$ quadrados $Q_1,\cdots ,Q_n$ com $y_0 \in Q_1$, $f[Q_1]\subset A$ para algum $A$ da definição de espaço de recobrimento e de forma que

$$(\bigcup_{i \leq j} Q_i)\cap Q_{j+1}$$

seja não vazio e conexo.

Tome $A_i$ aberto homeomorfo a $A$ com $x_0\in A_i$ e exiba $g_1$ um levantamento para $f$ em $Q_1$.
Estenda $g_i$ a um levantamento $g_{i+1}:Q_1\cup\cdots \cup Q_{i+1} \rightarrow X_L$, $i=1,\cdots,n-1$.
Note que $g_n$ é o levantamento desejado e que ele é único.

Proposição

Sejam $(X_L,p)$ um espaço de recobrimento para $X$ e $f: [0,1]\rightarrow X$ uma função contínua. Dado $y_0 \in [0,1]$ e fixado $x_0 \in X_L$ tais que $p(x_0)=f(y_0)$, existe um único levantamento $g: [0,1]\rightarrow X_L$ tal que $g(y_0)=x_0$.

Demonstração:

Análoga a demonstração da proposição anterior.

Teorema

Sejam $(X_L,p)$ um espaço de recobrimento para $X$ e $H: [0,1]\times [0,1]\rightarrow X$ uma homotopia entre os caminhos $H(\cdotp , 0)$ e $H(\cdotp , 1)$. Dado $y_0 \in [0,1]\times [0,1]$ e fixado $x_0 \in X_L$ tais que $p(x_0)=H(y_0)$, existe um único levantamento $H_L: [0,1]\times [0,1]\rightarrow X_L$ tal que $H_L(y_0)=x_0$. Além disso, $H_L$ é uma homotopia entre os caminhos $H_L(\cdotp , 0)$ e $H_L(\cdotp , 1)$.

Demonstração:

Existência e unicidade seguem dos resultados anteriores.
Note que $H( 0,\cdotp )$ é constante. Tome um aberto $A$ da definição de espaço de recobrimento tal que $H( 0, 0)\in A$.
$H_L(\{ 0\} \times [0,1] )$ está contido num único $A_i$.
$p(H_L(\{ 0\} \times [0,1] ))=H( 0,\cdotp )=H( 0,0)$ é constante.
$H_L(\{ 0\} \times [0,1] ))=H_L( 0,\cdotp )=p\vert_{A_i}^{-1}(H(0,0))$ é constante.
De maneira análoga conclua que $H_L( 1,\cdotp )$ é constante e que então $H_L$ é uma homotopia entre os caminhos $H_L(\cdotp , 0)$ e $H_L(\cdotp , 1)$.

Grupo fundamental de $S^1$

Teorema

$\pi_1(S^1,(1,0))$ é isomorfo a $(\mathbb{Z},+)$.

Demonstração:

Considere $p: \mathbb{R} \rightarrow {S^1}$ dada por $p(t)=(cos(2\pi t), sen(2\pi t)) $, $\omega_z: [0,1] \rightarrow {S^1}$, $\omega_z(t)=(cos(2\pi zt), sen(2\pi zt)) $ e $\omega_z^L: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$, $\omega_z^L(t)=zt$ um levantamento de $\omega_z$.
Note que $\omega_{a+b}\simeq \omega_a * \omega_b$.
Seja $f: [0,1] \rightarrow S^1$ um laço em $x_0=(1,0)$.
Tome $f_L: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ levantamento para $f$ com $f_L(0)=0$.
Note que $p^{-1}[(1,0)]=\mathbb{Z}$ e que então $f_L(1)=z \in \mathbb{Z}$.
Construa uma homotopia entre $f_L$ e $\omega_z^L$.
Aplique $p$ a esta homotopia e conclua que $[f]=[\omega_z]$.
Suponha $[f]=[\omega_z]=[\omega_s]$. Tome $F$ homotopia entre $\omega_z$ e $\omega_s$ e $F_L$ levantamento de $F$ com $F_L(\cdotp, 0)=\omega_z^L$, $F_L(\cdotp, 1)=\omega_s^L$.
Note que $F_L(1, \cdotp)$ é constante e conclua que $z=s$.
Defina $\phi: \pi_1(S^1,(1,0))\rightarrow \mathbb{Z}$ por $\phi(f)=z$, onde $z$ é tal que $[f]=[\omega_z]$ e conclua o resultado.