Seja $(X, \tau)$ um espaço de Baire. Suponha que $X$ seja um conjunto de primeira categoria, isto é, $\exists$ $(Y_{n})_{n \in \mathbb{N}} \subset X$ conjuntos raros tais que $X = \underset{n \in \mathbb{N}}{\displaystyle\bigcup} Y_n$. Note que, para cada $n \in \mathbb{N}$, $X \diagdown \overline{Y_n}$ é aberto e denso em $X$. Assim, $X = \overline{\displaystyle\bigcap_{n \in \mathbb{N}} (X \diagdown \overline{Y_n})} = \overline{X \diagdown (\displaystyle\bigcup_{n \in \mathbb{N}} \overline{Y_n})}$.

Porém, note que $X = \underset{n \in \mathbb{N}}{\displaystyle\bigcup} Y_n \subset \displaystyle\bigcup_{n \in \mathbb{N}} \overline{Y_n}$ e $\overline{X \diagdown (\displaystyle\bigcup_{n \in \mathbb{N}} \overline{Y_n})} = \underset{n \in \mathbb{N}}{\displaystyle\bigcup} Y_n \Rightarrow X = \underset{n \in \mathbb{N}}{\displaystyle\bigcup} Y_n \subset \partial (X \diagdown (\displaystyle\bigcup_{n \in \mathbb{N}} \overline{Y_n}))$, o que é uma contradição.

Logo, $X$ é de segunda categoria.