Sejam $X$ regular, $A\subset X$, $x\in A$ e $F\subset A$ fechado tal que $x\notin F$. Basta mostrar que $A$ é regular. Existe um fechado $C\subset X$ tal que $F=A\cap C$. Note que, como $x\notin F$, $x\notin C$. Pela regularidade de $(X,\tau)$, existem abertos disjuntos $J,K\subset X$ tais que $x\in J$ e $C\subset K$. Considere os abertos $U=(A\cap J) \ni x$ e $V=A\cap K$ de $A$, e perceba que são disjuntos, de forma que $x\in U$ e $F=A\cap C\subset V$. Falta mostrar que $A$ é $T_1$. Como $X$ é regular, tem-se que $X$ é Hausdorff. Além disso, todo subespaço de um espaço de Hausdorff é Hausdorff, logo $A$ é Hausdorff. E, finalmente, como $T_2 \Rightarrow T_1$, conclui-se que $A$ é regular. $\blacksquare$