Dado $q \in \mathbb{Q}$ e considerando $A_{q}=\mathbb{Q}\setminus {q}$ um aberto denso em Q. Temos $\bigcap_{q\in\mathbb{Q}}A_q = \emptyset$. Portanto, $\mathbb{Q}$ não é de Baire.
Suponha que $\mathbb{Q}$ é completamente metrizável então, pelo teorema de Baire, $\mathbb{Q}$ é um espaço de Baire. Contradição. $\square$