Considere $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ uma família de abertos densos e $V \neq \emptyset$ aberto. Queremos mostrar que $V\cap(\bigcap_{n \in \mathbb{N}}A_n)\neq\emptyset$. Note que podemos construir uma sequência de bolas abertas $(B_{r_n}(x_n))_{n \in \mathbb{N}}$ tal que $\forall \ n \in \mathbb{N}$:

(1) $r_n \rightarrow 0$;
(2) $\overline{B_{r_0}(x_0)}\subset V$;
(3) $\overline{B_{r_n}(x_n)}\subset A_n$;
(4) $\overline{B_{r_{n+1}}(x_{n+1})}\subset B_{r_n}(x_n)$.

De fato, como $A_0 \cap V$ é aberto não vazio, existem $x_0 \in A_0 \cap V$ e $r_0 \in ]0,1[$ tais que, pela regularidade de $(X,d)$, temos $\overline{B_{r_0}(x_0)}\subset A_0 \cap V$. Sendo assim, valem (1),(2),(3) e (4). Suponha definidos os termos de índice menor que $n$, de modo que satisfazem (1),(2),(3) e (4). Novamente, como $B_{r_n}(x_n)\cap A_n$ é aberto não vazio , existem $r_{n+1}< r_{n}/2$ e $x_{n+1}$ tais que $x_{n+1}\in B_{r_{n+1}}(x_{n+1})\subset\overline{B_{r_{n+1}(x_{n+1})}}\subset B_{r_n}(x_n)\cap A_{n+1}$, satisfazendo (1), (2), (3) e (4).

Perceba que $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ é uma sequência de Cauchy. Como $(X,d)$ é um espaço métrico completo, existe $x \in X$ tal que $x_n \rightarrow x$. Logo, $(x_n)_{n\geqslant k}$ é uma sequência de pontos de $\overline{B_{r_{k}}}$ que converge para $x$, ou seja, $x \in \bigcap_{k \in \mathbb{N}}\overline{B_{r_k}(x_n)}$. Portanto, $x \in V \cap (\bigcap_{n \in \mathbb{N}}A_n)$.