Se $K=\overline{\mathbb{Q}} \subset \beta \mathbb{R}$ e $K$ é uma compatificação de $\mathbb{Q}$, mas $K$ não é homeomorfo a $\beta \mathbb{Q}$.
Considere para todo $x \in \mathbb{Q}$, $f$ dada por:
\begin{equation} f(x) = \begin{cases} 0 \text{, se } x< \pi\\ 1 \text{, se } x> \pi \end{cases} \end{equation}
Uma função que vai de $\mathbb{Q}$ para $\mathbb{Q}$ com a topologia usual dos racionais é contínua, pois, para todo $x \in \mathbb{Q}$, podemos tomar $\varepsilon >0$ pequeno suficiente tal que $\pi \notin (x-\varepsilon,x+\varepsilon)$. Então $f$ é constante nesse intervalo. Mas ela não tem extensão contínua para todo $\mathbb{R}=\overline{\mathbb{Q}}$.
Portanto, $K$ não é homeomorfo a $\beta \mathbb{Q}$.
Ver também:
* Extensões contínuas: introdução