Sejam $X$ e $Y$ espaços topológicos, $f:X \longrightarrow Y$ continua. Dado $A \subset X$, então $f[\overline{A}] \subset \overline{f[A]}$.

Queremos mostrar que se $x \in \overline{A}$, então $f(x) \in \overline{f[A]}$.

Seja $V$ uma vizinhança de $f(x)$. Daí, $f^{-1}[V] \subset X$ é aberto contendo $x$ e que intesecta $A$ em algum ponto $y \in X$. Logo, $V$ intersecta $f[A]$ em $f(y)$ tal que $f(x) \in \overline{f[A]}$.