Sejam $Y$ subespaço de $X$ e $x \in Y \cap X$.

Se X satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade, então X tem base local enumerável. Podemos escrever essa base dessa forma: $\mathcal{B}_x=\{B_n \in \mathcal{B}: n \in \mathbb{N}\}$ em $x$. $\mathcal{B}_x'=\{Y \cap B_n: n \in \mathbb{N}\}$ é uma base local enumerável para $Y$ em $x$ pela proposição anterior.

Logo, $Y$ satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade.