Considere $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ uma família de abertos densos e $V \neq \emptyset$ aberto. Queremos mostrar que $V\cap(\bigcap_{n \in \mathbb{N}}A_n)\neq\emptyset$, para isso veja que podemos construir uma sequência de abertos não vazios $(V_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tal que $\forall n \in \mathbb{N}$:

(1) $\overline{V_0} \subset V;$
(2) $\overline{V_n} \subset A_n;$
(3) $\overline{V_{n+1}} \subset V_n.$

De fato, $A_0\cap V$ é aberto não vazio e como $X$ é compacto e de Hausdorff, segue que é regular e então existe um aberto $V_0$ tal que $x_0 \in V_0 \subset \overline{V_0} \subset A_0 \cap V$. Logo, vale (1),(2) e (3). Suponha definida a sequência para todo índice menor ou igual a $n$. Novamente, pela regularidade de $X$ existe $V_{n+1}$ aberto de modo que $x_{n+1}\in V_{n+1}\subset \overline{V_{n+1}} \subset V_n \cap A_{n+1}$, satisfazendo (2) e (3).

Note que de (3) temos que $(\overline{V_n})_{n\in\mathbb{N}}$ é uma família de fechados com a propriedade da interseção finita em um espaço compacto. Então, existe $x \in\bigcap_{n \in \mathbb{N}}\overline{V_n}$. Portanto, segue de (1) e (2) que $x\in V \cap(\bigcap_{n \in \mathbb{N}}A_n). \square$