Topologia Produto: Definição Geral

Motivação Curta: Ela é mais eficiente do que o caso anterior.

Definição: Seja $F$ uma família de funções da forma $f_α: X →Y_α$, $α ∈ A$, em que $X$ é um conjunto e cada $(Y_∝,\tau_α)$ é um espaço topológico. Chamamos de topologia fraca induzida por $F$ a topologia sobre $X$ gerada pelos conjuntos da forma $F_α^{-1}[V]$, onde $α ∈ A$, $V ∈ \tau_0$. Note que, desta forma, cada $f_α$ é contínua.

Após a definição anterior vamos definir o produto no caso geral.

Definição: Seja $(X_∝,\tau_α)_{α ∈ A}$ uma família de espaços topológicos. Defina o produto dos $(X_∝,\tau_α)_{α ∈ A}$ como;

$\prod_{\alpha\in A} X_{\alpha}$ = {$(x_{\alpha})_{\alpha \in A} : x_{\alpha} \in X_{\alpha}$}

com a topologia fraca induzida pelas funções $(\pi_{\alpha})_{\alpha \in A}$, onde cada $\pi_{\alpha}((x_{β})_{β \in A}) = x_{\alpha}$ (chamamos $x_{\alpha}$ de $\alpha$-ésima coordenada de $(x_{\alpha})_{\alpha \in A}).$

Esta topologia é chamada de topologia produto sobre $\prod_{\alpha\in A} X_{\alpha}$ (ou topologia de Tychonoff).

Observação: Temos que a topologia é gerada pelos conjuntos da forma $\prod_{β \in A} V_{β}$, onde

$$V_β = \begin{cases} V,\ se \ β = \alpha \\ X_{β}, \ se \ β \neq \alpha \end{cases} $$

onde $V$ é um aberto de $X_{\alpha}$. Isso é verdade, pois $\pi_α^{-1}[V] = \prod_{β \in A} V_{β}$.
Fechando essa família por interseções finitas, temos uma base para a topologia, ou seja, uma base para esse espaço é formada por conjuntos da forma:

$\prod_{\alpha\in A} V_{\alpha}$

onde {$ \alpha \in A: V_\alpha ≠ X_\alpha $} é finito e para cada $V_\alpha$ é aberto em $X_\alpha$. Denotaremos estes abertos como abertos básicos do produto, ou, também podemos denotar como suporte (supp) de aberto o conjunto finito {$ \alpha \in A: V_\alpha ≠ X_\alpha $}.

Produto de aberto(s) não é aberto(s)!

Vamos justificar a afirmação acima com um exemplo.

Exemplo: Tomamos o produto $A = \prod_{n \in \mathbb{N}}$ $]0,1+n[$ não é aberto em $\prod_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{R}$. De fato, o ponto $x = (\frac{1}{2})_{n \in \mathbb{N}}$ (isto quer dizer que todas as coordenadas são iguais a $\frac{1}{2}$) é um ponto de A, mas $\not\exists$ um aberto básico contendo $x$ e contido em $A$.

Para verificarmos, supomos que $V$ seja um aberto básico tal que $x \in V \subset A$. Seja $n$ fora do suporte de $V$. Notamos que o ponto $y = (y_{k})_{k \in \mathbb{N}}$ onde

$$y_k = \begin{cases} \frac{1}{2},\ se \ k \neq n \\ -1, caso \ contrário \end{cases} $$

é tal que $y \in V$, mas $y \not\in A$.

Apesar de produto de abertos não serem abertos em alguns casos, o produto de fechado sempre é fechado!

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