Um espaço topológico $(X,\tau)$ é localmente conexo (resp. por caminhos) se todo ponto de $X$ admite uma base local conexa (resp. por caminhos).
Se $(X,\tau)$ é um espaço conexo e localmente conexo por caminhos, então $(X,\tau)$ é conexo por caminhos. Demo.
Se $(X,\tau)$ é localmente conexo, então todo ponto de $X$ tem componente conexa aberta. Demo.