Vamos introduzir um conceito parecido com conexidade porém não equivalente.
Um espaço topológico $(X,\tau)$ é conexo por caminhos se $\forall x,y \in X$, existe $f:[0,1] \rightarrow X$ contínua tal que $f(0) = x$ e $f(1) = y$.
Notemos que essa definição intuitivamente remete a definição de conexidade, porém vamos mostrar que ser conexo por caminhos implica conexidade mas que a volta é falsa.
Se $X$ é conexo por caminhos, então $X$ é conexo.Demonstração
Espaço conexo que não é conexo por caminhos Exemplo
Seja $f:X \rightarrow Y$ é contínua e sobrejetora, então se $X$ é conexo por caminhos então $Y$ é conexo por caminhos.Demonstração