Sabemos que as componentes conexas de um espaço são sempre fechadas. Em geral elas não precisam ser abertas, por exemplo, a componente conexa de cada ponto $x$ da reta de Sorgenfrey é o conjunto unitário $\{x\}$. Mas, quando o espaço topológico $(X, \tau)$ possui uma quantidade finita de componentes conexas, então cada componente conexa é necessariamente um cojunto aberto, como veremos a seguir:
A ideia é mostrar que cada componente conexa será o complementar de uma união finita de fechados.
Seja $x \in X$ e denote por $C_{x}$ a componente conexa de $x$. Evidentemente temos que $$X = \cup_{x \in X} C_{x}.$$ Se $y \in C_{x}$ então o conjunto $C_{x} \cup C_{y}$ é um conexo que contém $x$, portanto $C_{x} = C_{y}$, isto é, as componentes conexas particionam o espaço $X$. Sendo assim, se o espaço possui uma quantidade finita de componentes conexas, podemos escrever $$X = C_1 \cup C_2 \cup \dots \cup C_n. $$ Veja que $$X \setminus C_i = C_1 \cup \dots \cup C_{i-1} \cup C_{i+1} \cup \cdots \cup C_n, $$ é uma união finita de conjunto fechados, logo $X \setminus C_i$ é fechado, de onde segue que cada $C_i$ é um conjunto aberto.