• Mostre que a componente conexa de \(x\) é conexa.
• Mostre que a componente conexa de \(x\) é o maior subconjunto conexo de \(X\) contendo \(x\).
• Mostre que componentes conexas são fechadas.

• Mostre que se \((X, \tau)\) é conexo por caminhos, então \((X, \tau)\) é conexo.
• Seja \(X = A \cup B\) (\(X\) é chamado de Espaço Pente), onde \[A = \{(0,y) : y \in (0, 1]\} \; \text{e} \; B = \left\{\left(\frac{1}{n+1}, y\right) \in \mathbb{R}^2 : y \in [0, 1], n \in \mathbb{N}\right\} \cup \{(x,0) : x \in (0, 1]\}.\]
  • Mostre que $A$ e $B$ são conexos.
  • Mostre que \(X\) é conexo.
  • Mostre que \(X\) não é conexo por caminhos.
• Sejam \((X, \tau)\), \((Y, \sigma)\) espaços topológicos e \(f:X\rightarrow Y\) função contínua e sobrejetora. Se \((X, \tau)\) é conexo por caminhos, então \((Y, \sigma)\) é conexo por caminhos.

• Seja \((X, \tau)\) um espaço topológico. Vamos mostrar que se \(X\) é conexo e localmente conexo, então \(X\) é conexo por caminhos. Dado \(x \in X\), considere \[C = \{y \in X \, | \, \exists f: \left[0, 1\right] \rightarrow X \; \text{contínua com} \; f(0) = x \; \text{e} \; f(1) = y\}.\]
• Mostre que C é aberto.
• Mostre que C é fechado.
• Conclua.

• Vamos mostrar que o Espaço Pente com a origem é conexo por caminhos.
  • Seja \((X, \tau)\) um espaço topológico. Dados \(\{X_i\}_{i \in \mathcal{I}}\) subespaços de \(X\) conexos por caminhos com \(x \in X_i\) para todo \(i\), mostre que \(\bigcup_{i \in \mathcal{I}} X_i\) é conexo por caminhos.
  • Dado \(k \in \{1, \cdots, \infty\}\), considere \[A_\infty = \{0\} \times \left[0, 1\right] \; \text{e} \; A_k = [0, \tfrac{1}{k}] \times \{0\} \cup \{\tfrac{1}{k}\} \times \left[0, 1\right] \; \text{para} \; k \in \mathbb{N}_{>0}.\]
  • Mostre que os \(A_k\)'s são conexos por caminhos.
  • Conclua.
• Mostre que o Espaço Pente (com ou sem a origem) não é localmente conexo.
• Mostre que \(\left[ 0, 1\right] \cup \left[ 2, 3\right]\) é localmente conexo, mas não é conexo.

• Mostre que \(\mathbb{R}\) e \(\mathbb{R}^2\) não são homeomorfos.
• Mostre que \(\left[0, +\infty\right[\) e \(\mathbb{R}\) não são homeomorfos.
• Mostre que \(S^1 = \{(x, y) : x^2 + y^2 = 1\}\) não é homeomorfo a qualquer subespaço de \(\mathbb{R}\).
• Seja \(T\) a superfície da Terra com a métrica usual e \(t : T \rightarrow \mathbb{R}\) onde \(t(x)\) é a temperatura no local \(x\), considere \(t\) contínua. Vamos mostrar que existem dois pontos antípodas (simétricos em relação ao centro da Terra) na Terra que possuem a mesma temperatura.
  • Seja \(F : T \rightarrow \mathbb{R}\), tal que \(F(x) = t(x) - t(A(x))\), onde \(A\) é a função (contínua) que associa um ponto ao seu antípoda. Mostre que \(F\) é contínua.
  • Conclua a proposição pelo Teorema do valor intermediário.
• Vamos mostrar que existe uma função que leva conexo em conexo e não é contínua. Considere os seguintes algarismos na base 13:

\[\mathcal{B}_{13} = \{0 \; , \; 1 \; , \; 2 \; , \; 3 \; , \; 4 \; , \; 5 \; , \; 6 \; , \; 7 \; , \; 8 \; , \; 9 \; , \; + \; , \; - \; , \; , \; ;\}\] \(\;\;\;\;\;\;\)e defina \(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) como \[x \mapsto f(x) = \begin{cases} \;\; a_1 a_2 \cdots a_n, b_1 b_2 \cdots b_n \cdots & \text{se a expansão de} \,\, x \,\, \text{na base 13 termina} \\ & \text{em} +a_1 a_2 \cdots a_n; b_1 b_2 \cdots b_n \cdots \\ -a_1 a_2 \cdots a_n, b_1 b_2 \cdots b_n \cdots & \text{se a expansão de} \,\, x \,\, \text{na base 13 termina} \\ & \text{em} -a_1 a_2 \cdots a_n; b_1 b_2 \cdots b_n \cdots \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 0 & \text{caso contrário} \end{cases}\] \(\;\;\;\;\;\;\)onde \(a_i, b_i \in \{0, \cdots 9\}\) para todo \(i \in \mathbb{N}\).

• Mostre que \(f\) está bem definida.
  • Dados \(a, b \in \mathbb{R}\), com \(b > a\), temos \((b)_{13} - (a)_{13} = \sum_{k=0}^{\infty} c_k 13^{n-k}\) para algum \(n\), onde \(c_i \in \mathcal{B}_{13}\). Note que \((b)_{13} - (a)_{13} \geq \sum_{k>l}^{\infty} d_k 13^{n-k}\), onde \(d_i \in \mathcal{B}_{13}\) e \(l = min\{k \in \mathbb{N} : c_k \neq 0\}\) e, assim, mostre que \(f(\left[a, b\right]) = \mathbb{R}\).
  • Mostre que \(f\) é descontínua.