Componentes Conexas

Quando começamos a pensar em conexidade uma ideia que ajuda é a pensar na componente conexa dentro do espaço.

Definição: Seja $(X,\tau)$ espaço topológico e $x \in X$. Definimos a componente conexa de $x$ como $∪_{A \in Ą} A$ onde $Ą$ = {$A ⊂ X$: $x \in A$ e $A$ é conexo}.

Se observamos a seguinte proposição:

Proposição: Seja $(X,\tau)$ espaço topológico e $x \in X$.

  1. Se $X = ∪_{∝ \in I} X_{∝}$, onde $X_{∝}$ é conexo e $X_{∝} ∩ X_{β} ≠ \emptyset$ para quaisquer $∝,β \in I$ distintos, então $X$ é conexo.
  2. Se para quaisquer $x,y \in X$ existir $A ⊂ X$ conexo tal que $x,y \in A$, então $X$ é conexo.

Teremos que a componente conexa de $x$ é sempre conexa. Desta maneira, é fácil ver que a componente conexa de $X$ contendo $x$ é o maior (no sentido de inclusão) subconjunto conexo de $X$ contendo $x$.

Por outro lado, não é tão óbvio a partir da definição que as componentes conexas são sempre fechada.

Proposição: Componentes conexas são sempre fechadas.

Demonstração: Seja $C_{x}$ componente conexa para $x \in X$. Temos por definição $C_{x} ⊂ \overline{C_{x}}$. Como $C_{x}$ é conexo, temos que $\overline{C_{x}}$ é conexo (e contém $x$). Portanto, $\overline{C_{x}} ⊂ C_{x}$. Como queríamos demonstrar.

Veja também:

  1. Conexidade: Intervalos;
  2. Mutuamente separados;
  3. Conexos por caminho.