Os seguintes resultados decorrem da noção de compacidade:
Seja $K$ uma espaço topológico compacto e $f:K \rightarrow \mathbb{R}$ uma função contínua, então $f$ admite pontos de máximo e de mínimo. Demonstração
Seja $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ uma sequência em $\mathbb{R}^n$ limitada, então $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ admite uma subsequência convergente. Demonstração
Todas as métricas no $\mathbb{R}^n$ são equivalentes. Demonstração