Seja $X$ um conjunto compacto, $T_2$ e separável, portanto existe $f : \beta \mathbb{N} \rightarrow X$ sobrejetora:
O conjunto $\mathbb{N}$ é completamente regular, por apresentar a topologia discreta, assim podemos aplicar a compactificação, com isso $\beta\mathbb{N}$ é um conjunto compacto e $t_2$, tal que $\beta\mathbb{N}=\overline{\mathbb{N}}$
Por $X$ ser um conjunto separável, admite subconjunto denso e enumerável, com isso podemos criar uma função $f:\mathbb{N} \rightarrow X$ contínua e sobrejetora, com isso podemos usar que:
Para toda função $f:\mathbb{N} \rightarrow X$, sendo $X$ compacto, então existe $g : \beta\mathbb{N} \rightarrow X$, $g$ continua sendo uma função sobrejetora, pela separabilidade de $X$ e pela enumrabilidade de $\beta\mathbb{N}$ $\square$