Compactificação de Stone-Čech dos racionais.
Considere $K=\overline{\mathbb{Q}} \subset \beta \mathbb{R}$. Vamos mostrar que $K$ é uma compactificação de $\mathbb{Q}$ e que $\overline{\mathbb{Q}}$ não é homeomorfa à $\beta \mathbb{Q}$. Mas antes da demonstração destes, veremos um resultado necessário para a prova.
Sejam $X$ e $Y$ espaços topológicos, $f:X \longrightarrow Y$ continua. Dado $A \subset X$, então $f[\overline{A}] \subset \overline{f[A]}$. Demonstração
Faremos a próxima demonstração semelhante a Compactificação de Stone–Čech dos naturais, tomando $\mathbb{Q}$ com a topologia discreta. Lembrando que os naturais e os racionais não são compactos.
Sabemos que $\mathbb{Q}$ é completamente regular Hausdorff, então admite compactificação.
Se $K=\overline{\mathbb{Q}} \subset \beta \mathbb{R}$, então $K$ é uma compatificação de $\mathbb{Q}$. Demonstração
Considere $K=\overline{\mathbb{Q}} \subset \beta \mathbb{R}$ e $K$ é uma compactificação de $\mathbb{Q}$. Veremos que $K$ não é homeomorfo à $\beta \mathbb{Q}$. Demonstração
Ver também:
* Compactificação de Stone-Čech
* Compactificação de Stone–Čech dos naturais
* Um caso interessante sobre funções contínuas e compactificações