Definição: Compactificação
Seja $ (X, \tau) $ espaço de Hausdorff. Dizemos que $ (K,\sigma)$ é uma compactificação de $X$ se $(K,\sigma)$ é compacto de Hausdorff e $X$ é um subespaço denso de $K$.
Definição: Compactificação de Stone–Čech
Seja $ (X, \tau) $ completamente regular. Chamamos de $ \beta X = \overline{ \{(f(x))_{f\in\mathcal{F}}:x\in X\}}\subset [0,1]^\mathcal{F} $, onde $\mathcal{F}$ é o conjunto de todas as funções contínuas $ f : X \rightarrow [0, 1]$. $ \beta X$ é a compactificação de Stone-Čech.
Teorema
Seja $ (X, \tau) $ completamente regular. Então,
(a) $ \beta X$ é um compacto de Hausdorff tal que $ \overline{X} = \beta X$.
(b) Para toda $f : X \rightarrow [0, 1] $ contínua, existe $\tilde{f} : \beta X \rightarrow [0, 1]$ extensão contínua de $f$.
Roteiro de Demonstração:
a)
Confira que $\beta X \subset [0,1]^{\mathcal{F}} \implies \beta X$ compacto Hausdorff.
Use o teorema da imersão para verificar que $X$ é homeomorfo a $\{(f(x))_{f \in \mathcal{F}} : x \in X\}$
Conclua que $\beta X = \overline{X}$.
b)
Tome $g: X\to[0,1]$ e $a \in \beta X$.
Note que $a = (a_f)_{f\in\mathcal{F}}$, onde cada $a_f \in [0,1]$.
Lembre-se da relação $x=(f(x))_{f\in\mathcal{F}}$ (pelo Teorema da Imersão).
Note que $\pi_g:\beta X \to [0,1]$ (a projeção na $g$-ésima coordenada) satisfaz a proposição.
Podemos mostrar facilmente que a compactificação de Stone–Čech não acrescenta apenas um ponto. Mais que isso:
Exercício
Considere $X=\mathbb{N}\cup\{a\}$ é um compacto de Hausdorff tal que $\mathbb{N}$ tem a topologia usual (como subespaço) e $\overline{\mathbb{N}}=X$
Mostre que $X$ é homeomorfo ao espaço da sequência convergente.
Mostre que $f:\mathbb{N}\to [0,1]$ dada $f(n)=0$ se n é par e $f(n)=1$ se $n$ é ímpar, não admite extensão contínua para $X$.
Conclua que $X$ não é a compactificação de Stone-Čech de $\mathbb{N}$.
Proposição
Seja $(X,\tau)$ espaço completamente regular e Y um compacto de Hausdorff tal que $X=Y$ e, para qualquer função $f : X\to[0,1]$
contínua, exista $\tilde{f}: Y\to[0,1]$ extensão contínua de $f$. Então, dada
$f: X\to K$ contínua, onde $K$ é compacto Hausdorff, existe $\tilde{f}: Y\to K$
extensão contínua de $f$.
Roteiro de Demonstração:
Pelo Teorema da imersão , suponha $K \subset [0,1]^\mathrm{I}$ para algum conjunto $\mathrm{I}$ e defina $f:X\rightarrow K$ contínua.
Para cada $i\in\mathrm{I}$, considere $f_i : X \rightarrow [0,1] $ dada por $f_i = \pi_i \circ f$.
Note que, pela hipótese, existe $\tilde{f_i}: Y\to[0,1]$.
Defina $\tilde{f}: Y\to[0,1]^\mathrm{I}$ como $\tilde{f} = (\tilde{f_i}(y))_{i\in \mathrm{I}}$.
Mostre que $\tilde{f}[\overline{X}] \subset \overline{\tilde{f}[X] }$.
Verifique que $\tilde{f}[Y] \subset K$ e conclua o resultado.
Exercício
$\beta X$ é o único espaço que satisfaz as condições (a) e (b) do Teorema (a menos de homeomorfismo).
Proposição
Seja $F \subset \beta\mathbb{N}$ fechado infinito. Então $F$ contém um
subespaço homeomorfo a $\beta\mathbb{N}$.
Roteiro de Demonstração:
Construa famílias $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ e $(V_n)_{n\in\mathbb{N}}$, na qual, para todo $n\in\mathbb{N}$,
Como $A = \{a_n:n\in\mathbb{N}\}$ é discreto, note que $A$ é homeomorfo a $\mathbb{N}$.
Seja $G: \mathbb{N} \to [0,1]$ dado por $G(x) = \begin{cases} \hspace{0,1cm} g(a_k), & se \hspace{0,1cm} n\in V_k \cap \mathbb{N} \\ \hspace{0,1cm} 0, & caso \hspace{0,1cm} contrário \end{cases}$, na qual $g: A \to [0,1]$ e defina $\tilde{G}:\beta \mathbb{N} \to [0,1]$ extensão contínua de $G$.
Mostre que $\tilde{G}[\overline{V_k}] = \tilde{G}[\overline{V_k\cap\mathbb{N}}] $ (Use que $V_k$ é aberto e $\mathbb{N}$ é denso).
Dado $a_k \in A$, conclua que $\tilde{G}[a_k] = \{g(a_k)\}$.
Por fim, verifique que como $\overline{A}$ é compacto, então $\overline{A}$ é homeomorfo a $\beta \mathbb{N}$.
Corolário
Seja $F\subset \beta\mathbb{N}$ fechado infinito. Então $|F|=|\beta\mathbb{N}|$.
Corolário
$\beta\mathbb{N}$ é um compacto onde nenhuma sequência não trivial é convergente.
Roteiro de Demonstração:
Considere $\mathcal{F} = \{f:\mathbb{N}\to [0,1]\}$. Averigue que $|\mathcal{F}| = |\mathbb{R}|$.
Verifique que $\left|\underset{f \in \mathcal{F}}{\prod} [0,1]\right| = \wp(\mathbb{R})$.
Mostre que $|\beta\mathbb{N}|=|\wp(\mathbb{R})|$.
Prove que não pode haver uma sequência não trivial convergente em $\beta \mathbb{N}$.