[Exercício 2.1.20.] Continuidade em finitas partes fechadas implica continuidade no todo.
Sejam $(X, \tau)$ e $(Y, \sigma)$ espaços topológicos. Sejam $F_1, ..., F_n \subset X$ fechados tais que $\bigcup_{i=1}^{n} F_{i} = X$. Seja $f : X \rightarrow Y$ uma função.
Proposição 1: Se $f \upharpoonright F_{i}$ é contínua para todo $i = 1, …, n$, então $f$ é contínua.
Demonstração: Seja $F$ um fechado qualquer de $X$. Já que os $F_{i}$ cobrem o espaço todo, temos: $$f^{-1} [F] = \bigcup_{i=0}^{n} F_{i} \cap f^{-1} [F] = \bigcup_{i=0}^{n} \Big(F_{i} \cap f^{-1} [F]\Big)$$
Agora, percebamos que podemos escrever $\big(f \upharpoonright F_{i}\big)^{-1} [F] = F_{i} \cap f^{-1} [F]$ e, então, $$\bigcup_{i=0}^{n} \big(f \upharpoonright F_{i}\big)^{-1} [F] = \bigcup_{i=0}^{n} \Big(F_{i} \cap f^{-1} [F]\Big) = f^{-1} [F]$$
Pela continuidade de $f \upharpoonright F_{i}$, a pré-imagem de fechados é fechada. Sabemos, também, que a união finita de fechados é fechada. Desse modo, $f^{-1} [F]$ é fechado — e $f$ é contínua.
Observação: Note que a volta é imediata (mesmo que cada $F_{i}$ não seja fechado). Basta lembrarmos que a continuidade de $f$ implica a continuidade de $f$ em todo ponto de $X$.
Proposição 2: A hipótese de que cada $F_{i}$ deve ser fechado é necessária na Proposição 1.
Demonstração: Considere o intervalo real $[-1, 2]$. Tomemos a função $f$ que leva $[k, k+1) \to [0, 1]$ para cada $k$ inteiro no intervalo. Graficamente teríamos algo como:
Desse modo, a função $f$ é contínua quando tem seu domínio restringido a $[0, 1)$, por exemplo, mas possui pontos de descontinuidade quando analisada no espaço todo.