[Exercício 2.1.21.] Continuidade em partes abertas implicam continuidade no todo.

Sejam $(X, \tau)$ e $(Y, \sigma)$ espaços topológicos. Seja $(A_{i})_{i \in I}$ família de abertos de $X$ tal que $\bigcup_{i \in I} A_{i} = X$. Seja $f : X \rightarrow Y$.

Proposição: Se $f \upharpoonright A_{i}$ é contínua para todo $i \in I$, então $f$ é contínua.

Demonstração: Seja $A$ um aberto qualquer de $X$. Já que os $A_{i}$ cobrem o espaço todo, temos: $$f^{-1} [A] = \bigcup_{i \in I} A_{i} \cap f^{-1} [A] = \bigcup_{i \in I} \Big(A_{i} \cap f^{-1} [A]\Big)$$

Agora, percebamos que podemos escrever $\big(f \upharpoonright A_{i}\big)^{-1} [A] = A_{i} \cap f^{-1} [A]$ e, então, $$\bigcup_{i \in I} \big(f \upharpoonright A_{i}\big)^{-1} [A] = \bigcup_{i \in I} \Big(A_{i} \cap f^{-1} [A]\Big) = f^{-1} [A]$$

Pela continuidade de $f \upharpoonright A_{i}$, a pré-imagem de abertos é aberta. Sabemos, também, que a união de abertos é aberta. Desse modo, $f^{-1} [A]$ é aberto — e $f$ é contínua.


Observação: Note que a volta é imediata (mesmo que cada $A_{i}$ não seja aberto). Basta lembrarmos que a continuidade de $f$ implica a continuidade de $f$ em todo ponto de $X$.


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