Podemos pensar em homotopia como uma “deformação contínua” de duas funções contínuas. Sejam $(X, \tau)$ e $(Y, \sigma)$ espaços topológicos e $f, g : X \to Y$ funções contínuas. Dizemos que $f$ é homotópica a $g$ se for possível “deformar continuamente” a função $f$ até obter a função $g$. Formalmente, isso significa que existe uma função contínua $H : X \times [0, 1] \to Y$ tal que $H(x,0) = f(x)$ e $H(x,1) = g(x)$. A função $H$ será chamada de homotopia entre $f$ e $g$ e denotamos por $f \simeq g$. Tomando o tempo como parâmetro, em cada instante de tempo $t$ a função $H(\cdot,t) : X \to Y$ é contínua.
Seja $f, g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ dadas por $f(x) = x$ e $g(x) = 0$. Considere $H : \mathbb{R}^n \times [0,1] \to \mathbb{R}^n$ definida como $H(x,t) = (1-t)x$. $H$ é claramente contínua, $H(x,0) = x = f(x)$ e $H(x,1) = 0 = g(x)$, para todo $x \in \mathbb{R}^n$. Assim, $H$ é uma homotopia entre $f$ e $g$.
Observe que apesar do exemplo anterior parecer “simples” usamos implicitamente a convexidade do $\mathbb{R}^n$ para garantir a continuidade de $H$. A seguir, generalizamos esse exemplo e veremos que exigindo convexidade pelo menos no contradomínio é suficiente para construirmos homotopias.
Sejam $A \subset \mathbb{R}^n$ um subcojnto convexo e $(X, \tau)$ um espaço topológico qualquer. Então para quaisquer $f,g : X \to A$ funções contínuas, a função $H(x,t) = tg(x) + (1-t)f(x)$ é uma homotopia entre $f$ e $g$. De fato, a convexidade de $A$ garante que a função $H(\cdot, t) : X \to A$ está bem definida para todo $t \in [0, 1]$. Além disso, $H$ é composta de funções contínuas logo é contínua, $H(x,0) = f(x)$ e $H(x,1) = g(x)$.
Considere $S^2 = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \, \, \ | \, \, \ x^2 + y^2 + z^2 = 1 \}$, com a topologia induzida. Sejam $X$ um espaço toplógico qualquer e $f, g : X \to S^2$ funções contínuas tais que $f(x) \neq - g(x)$, para todo $x \in X$. Então $f$ e $g$ são homotópicas.
De fato, seja $$H(x,t) = \frac{(1-t)f(x) + tg(x)}{\Vert (1-t)f(x) + tg(x) \Vert}. $$ Veja que $(1-t)f(x) + tg(x) = 0 \Leftrightarrow f(x) = \dfrac{- t g(x)}{1-t}$. Mas como $\Vert f(x) \Vert = \Vert g(x) \Vert = 1$, isso implica que $1 = \dfrac{ t }{1-t} \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}$ logo $f(x) = - g(x)$, o que não pode ocorrer, por hipótese. Portanto, o denominador de $H$ não se anula e segue que $H$ é contínua. Claramente $\Vert H(x,t) \Vert = 1$, para todo $x \in X$ e $t \in [0, 1]$, como também $$H(x,0) = \frac{f(x)}{\Vert f(x) \Vert} = f(x), $$ $$H(x,1) = \frac{g(x)}{\Vert g(x) \Vert} = g(x), $$ para todo $x \in X$. Portanto, $f \simeq g$.
A relação $f \simeq g \Leftrightarrow $ $f$ é homotópica a $g$ é uma relação de equivalência.
As classes de equivalência da relação $\simeq$ são chamadas de classes de homotopia.
Sejam $(X, \tau), (Y, \sigma)$ e $(Z, \mu)$ espaços topológicos. Sejam $f_1, f_2 : X \to Y$, $g_1, g_2 : Y \to Z$ funções contínuas tais que $f_1 \simeq f_2$ e $g_1 \simeq g_2$, então $$g_1 \circ f_1 \simeq g_2 \circ f_2,$$ em outras palavras, composições de funções homotópicas são homotópicas.