Definição: Base
Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Dizemos que $\mathcal{B} \subset \tau$ é uma base para $(X, \tau)$ se para todo aberto não vazio $A \in \tau$, existe uma famíia $\mathcal{A} \subset \mathcal{B}$ de elementos da base tal que $A=\bigcup_{B \in \mathcal{A}} B$.
para $(X, d)$.
Seja $X$ um conjunto qualquer. $\mathcal{B}=\{\{x\}: x \in X\}$ é uma base para a topologia discreta sobre $X$.
Mostre que a família $\mathcal{B}=\{[x, y[: x<y\}$ é uma base para a reta de Sorgenfrey.
Seja $X$ um conjunto e sejam $\tau$ e $\sigma$ topologias sobre $X$. Sejam $\mathcal{B}$ e $\mathcal{C}$ bases para $(X, \tau)$ e $(X, \sigma)$ respectivamente.
Suponha que para todo $x \in X$ e todo $B \in \mathcal{B}$ e $C \in \mathcal{C}$ tais que $x \in B$ e $x \in C$ existam $C^{\prime} \in \mathcal{C}$ e $B^{\prime} \in \mathcal{B}$ tais que $x \in C^{\prime} \subset B$ e $x \in B^{\prime} \subset C$. Mostre que $\tau=\sigma$.
Suponha que para todo $x \in X$ e todo $B \in \mathcal{B}$ tal que $x \in B$ exista $C \in \mathcal{C}$ tal que $x \in C \subset B$. É verdade que $\sigma=\tau$ ? Se não for verdade, vale alguma das inclusões?
Baseado no exercício anterior, Joãozinho propôs o seguinte critério: Sejam $\tau$ e $\rho$ duas topologias sobre $X$. Se, para todo $A \in \tau$ não vazio existe $B \in \rho$ não vazio tal que $B \subset A$ e, para todo $B \in \rho$ não vazio, existe $A \in \tau$ não vazio tal que $A \subset B$, então $\tau=\rho$. Joãozinho está certo?
Sejam $(X, \tau)$ um espaço topológico e $\mathcal{B}$ base para $(X, \tau)$. Mostre que $\tau$ é a menor topologia que contém $\mathcal{B}$. Isto é, mostre que $\tau=$ $\bigcap_{\sigma \in T} \sigma$ onde $T=\{\sigma: \sigma$ é uma topologia para $X$ tal que $\mathcal{B} \subset \sigma\}$.
Definição: Sistema fundamental de vizinhanças
Sejam $(X, \tau)$ um espaço topológico e $x \in X$. Dizemos que $\mathcal{V}$ é um sistema fundamental de vizinhanças de $x$ se
(a) Para todo $V \in \mathcal{V}, V$ é vizinhança de $x$;
(b) Para todo aberto $A \subset X$ tal que $x \in A$, existe $V \in \mathcal{V}$ tal que $x \in V \subset A$.
No caso em que os elementos de $\mathcal{V}$ são abertos, chamamos $\mathcal{V}$ de base local para $x$.
Mostre que, em $\mathbb{R}, \mathcal{V}_{1}=\{] x-\frac{1}{n}, x+\frac{1}{n}\left[: n \in \mathbb{N}_{>0}\right\}$ é um sistema fundamental de vizinhanças de $x$ .
Prove ainda, em $\mathbb{R}$, que $\mathcal{V}_{2}=\left\{\left[x-\frac{1}{n}, x+\frac{1}{n}\right]: n \in \mathbb{N}_{>0}\right\}$ é um sistema fundamental de vizinhanças de $x$.
Mostre que Na reta de Sorgenfrey, $\mathcal{V}=\left\{\left[x, x+\frac{1}{n}\left[: n \in \mathbb{N}_{>0}\right\}\right.\right.$ é um sistema fundamental de vizinhanças de $x$.
Considere $X$ com a topologia discreta. Mostre que $\mathcal{V}_{1}=\{\{x\}\}$ é um sistema fundamental de vizinhanças de $x$, bem como $\mathcal{V}_{2}=\{A \subset X: x \in A\}$.
Mostre que Se $\mathcal{B}$ é uma base para $(X, \tau)$, então $\mathcal{B}^{\prime}=\{B \cap Y: B \in$ $\mathcal{B}\}$ é uma base para $Y \subset X$ com a topologia de subespaço.
Seja $(X, \tau)$ espaço topológico. Sejam $x \in X$ e $V$ aberto tal que $x \in V$. Mostre que $\{A \in \tau: x \in A \subset V\}$ é um sistema fundamental de vizinhanças para $x$.
Sejam $(X, \tau)$ espaço topológico, $x \in X, \mathcal{V}$ sistema fundamental de vizinhanças de $x$ e $W \subset X$ vizinhança de $x$. Mostre que $\{V \cap W: V \in \mathcal{V}\}$ é um sistema fundamental de vizinhanças de $x$.
Sejam $(X, \tau)$ um espaço topológico, $A \subset X, x \in X$ e $\mathcal{V}$ um sistema fundamental de vizinhanças para $x$. Mostre que $x \in \bar{A}$ se, e somente se, para todo $V \in \mathcal{V}, V \cap A \neq \emptyset$.
Seja $(X, \tau)$ espaço topológico. Para cada $x \in X$, seja $\mathcal{V}_{x}$ um sistema fundamental de vizinhanças para $x$. Mostre que, dado $A \subset X, A$ é aberto se, e somente se, para todo $x \in A$ existe $V \in \mathcal{V}_{x}$ tal que $x \in V \subset A$.