Uma base de um espaço topológico é uma subfamília de abertos que gera todos os abertos, ou seja, essa subfamília é suficiente para recuperar todos os abertos do espaço por meio de uniões.
Formalmente, seja $(X,\tau)$ um espaço topológico. Dizemos que $\mathcal{B} \subset \tau$ é uma base para $(X,\tau)$ se para todo aberto não vazio $A \in \tau$, existe uma família $\mathcal{B'} \subset \mathcal{B}$ de elementos da base tal que $A = \bigcup_{B \in \mathcal{B'}} B$.
Uma família $\mathcal{B}$ de subconjuntos de $\tau$ é uma base para $(X,\tau)$ se, e somente se, para todo aberto não vazio $A \subset \tau$ e todo $x \in A$, existe $B \in \mathcal{B}$ de forma que $x \in B \subset A$. Demonstração
Todo espaço topológico tem pelo menos uma base, basta considerar a família de todos os abertos, nesse caso chamamos de base trivial. Além disso, ao acrescentarmos qualquer quantidade de conjuntos abertos a uma base não trivial, ela continua sendo uma base, logo um espaço pode ter várias bases.
Bases do espaço original se relacionam com as de um subespaço, é o que diz a próxima proposição.
Se $\mathcal{B}$ é uma base para $(X,\tau)$, então $\mathcal{B'} = \{Y \cap B : B \in \mathcal{B}\}$ é uma base para $Y \subset X$ com a topologia de subespaço. Demonstração
Sejam $(X,\tau)$ um espaço topológico e $x \in X$. Dizemos que $\mathcal{V}$ é um sistema fundamental de vizinhanças de $x$ se:
No caso em que os elementos de $\mathcal{V}$ são abertos, chamamos de base local para $x$.