Seja $A_{0}$ a primeira jogada de ALICE. Seja $b_{0} \in A_{0}$. Seja $r_{0} \in \left( 0, 1 \right)$ tal que $\overline{B_{r_{0}}\left( b_{0} \right)} \subset A_{0}$. Seja $B_{0} = B_{r_{0}}\left( b_{0} \right)$ a primeira resposta de BETO.
Para qualquer jogada $A_{n}$ de ALICE, defina a resposta $B_{n}$ de BETO como $B_{r_{n}}\left( b_{n} \right)$ onde
Note que $r_{n} \rightarrow 0$ e $\overline{B_{n}} \subset B_{n-1}, \forall n \in \mathbb{N}$. Vamos mostrar que $\left( b_{n} \right)_{n \in \mathbb{N}}$ é uma sequência de Cauchy. Dado $\varepsilon > 0$, $\exists n_{0} \in \mathbb{N}$ tal que $r_{n_{0}} < \varepsilon/2$. Assim, se $n, m > n_{0}$, então $b_{n},b_{m} \in B_{r_{n_{0}}} \left( b_{n_{0}} \right)$ e $$ d\left( b_{n}, b_{m} \right) \leq d\left( b_{n}, b_{n_{0}} \right) + d\left( b_{n_{0}}, b_{m} \right) < r_{0} + r_{0} < \varepsilon $$
Como por hipótese o espaço é completo, então $b_{n} \rightarrow b$ para algum $b \in X$. Finalmente, $$ b \in \overline{ B_{r_{n}} \left( b_{n} \right) }, \forall n \in \mathbb{N} \implies b \in \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \overline{ B_{r_{n}} \left( b_{n} \right) } = \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \overline{B_{n}} = \bigcap_{n \in \mathbb{N}} B_{n} $$
$\square$