Suponha que exista uma estratégia vencedora para ALICE. Vamos mostrar que o espaço não é de Baire.
Seja $A_{0}$ a primeira jogada de ALICE segundo a estratégia vencedora. Note que, para cada $B \subset A_{0}$ aberto não vazio, ALICE deve saber jogar um aberto não vazio $A_{B} \subset B$. Defina uma família $\mathcal{A}_{1}$ maximal de conjuntos dois a dois disjuntos definida por $$ \mathcal{A}_{1} = \{ A_{B} : B \subset A_{0}, B \text{ aberto não vazio}\} $$ É claro que todos os elementos de $\mathcal{A}_{1}$ estão contidos em $A_{0}$. Note que cada $A_{B} \in \mathcal{A}_{1}$ é uma resposta de ALICE à alguma jogada $B$ de BETO.
Agora, de forma análoga, para cada $A \in \mathcal{A}_{1}$, definimos uma nova família maximal de abertos dois a dois disjuntos $\mathcal{A}_{A} = \{ A_{B} : B \subset A, B \text{ aberto não vazio}\}$. Defina $$ \mathcal{A}_{2} = \bigcup_{A \in \mathcal{A}_{1}} \mathcal{A}_{A} $$ Como acima, para cada $A \in \mathcal{A}_{1}$, $\bigcup_{V \in \mathcal{A}_{A}}V$ é denso em A. Assim, $\bigcup_{A \in \mathcal{A}_{2}}A$ é denso em $A_{0}$. Repetimos esse processo para cada $n \in \mathbb{N}$.
Vamos agora construir uma família de abertos densos cuja interseção não é densa. Defina
\begin{align} W_{0} &= A_{0} \cup \left( \overline{A_{0}} \right)^{C}\\ W_{n} &= \left( \bigcup_{A \in \mathcal{A}_{n}} A \right) \cup \left( \overline{A_{0}} \right)^{C} \end{align}
De fato, $X = \overline{A_{0}} \cup \left( \overline{A_{0}} \right)^{C} \subset \overline{A_{0}} \cup \overline{\left( \overline{A_{0}} \right)^{C}} = \overline{W_{0}}$. Além disso, $\overline{ \bigcup_{A \in \mathcal{A}_{n}} A } = A_{0}$, e temos, de fato, uma família de abertos densos. Note que, para termos o resultado, basta mostrarmos que
$$ A_{0} \cap \left[ \bigcap_{n \in \mathbb{N}} W_{n} \right] = \emptyset $$
De fato, suponha que exista $x \in A_{0} \cap \left[ \bigcap_{n \in \mathbb{N}} W_{n} \right]$. Como $x \in A_{0} \cap W_{1}$, $\exists A_{1} \in \mathcal{A}_{1}$ tal que $x \in A_{1}$, e tal conjunto é único pela definição de $\mathcal{A}_{1}$. Assim, $\exists B_{0}$ jogada válida de BETO tal que $A_{0}$ é a primeira jogada de ALICE, $B_{0}$ a primeira resposta de BETO e $A_{1}$ a primeira resposta de ALICE segundo sua estratégia vencedora. Agora, como $x \in A_{1} \cup W_{2}$, $\exists A_{2} \in \mathcal{A}_{2}$ único tal que $x \in A_{2}$. Novamente, $\exists B_{1} \subset A_{1}$ resposta de BETO para $A_{1}$ tal que $A_{2}$ é a resposta de ALICE segundo sua estratégia vencedora. Prosseguido dessa forma para cada $n \in \mathbb{N}$, construímos uma sequência $$ A_{0} \supset B_{0} \supset A_{1} \supset \ldots \supset B_{n} \supset A_{n+1} \supset B_{n+1} \supset \ldots $$ onde cada $A_{n}$ é escolhido segundo a estratégia vencedora de ALICE. Porém, temos que $x \in \bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_{n}$, uma contradição com o fato de que ALICE deveria ser a vencedora.
$\square$