Suponha que o espaço não seja de Baire. Vamos construir uma estratégia vencedora para ALICE.
De fato, sejam $V \neq \emptyset$ um aberto e $\left( W_{n} \right)_{n \in \mathbb{N}}$ uma sequência de abertos densos tais que $V \cap \left[\bigcap_{n \in \mathbb{N}}W_{n} \right] = \emptyset$. Considere $A_{0} = V \cap W_{0}$. Note que $A_{0}$ é um aberto não vazio (e, portanto, uma jogada válida), pois $V,W_{0}$ são abertos e $W_{0}$ é denso. Seja $B_{0} \subset A_{0}$ aberto não vazio a resposta de BETO. Note que é valido que ALICE então jogue $A_{1} = B_{0} \cap W_{1}$, aberto não vazio pela densidade de $W_{1}$. Em geral, em uma rodada $n$ qualquer, $$ A_{n} = B_{n-1} \cap W_{n} $$ é uma jogada válida para ALICE, e constitui uma estratégia vencedora, pois $$ \bigcap_{n \in \mathbb{N}}A_{n} \subset \left( V \cap \left[\bigcap_{n \in \mathbb{N}}W_{n} \right] \right) = \emptyset $$ $\square$