topologia:banachmazur

Tabela de conteúdos

Proposição 1:
Exercício 1:
Exercício 2:
Discussão

Dado um espaço topológico $\left( X, \tau \right)$, chamamos de jogo de Banach-Mazur o seguinte jogo infinito entre dois jogadores, ALICE e BETO:

Rodada 0: ALICE joga um aberto não vazio $A_{0} \in \tau$. BETO responde com um aberto não vazio $B_{0} \subset A_{0}$
Rodada $n$: ALICE joga um aberto não vazio $A_{n} \subset B_{n-1}$. BETO responde com um aberto não vazio $B_{n} \subset A_{n}$

Após todas as rodadas, ALICE é declarada vencedora se $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_{n} = \emptyset$. BETO é o vencedor no caso em que a interseção é não vazia.

Note que a mesma condição para determinar o vencedor pode ser aplicada aos conjuntos $B_{n}$, $n \in \mathbb{N}$, isto é, ALICE é declarada vencedora se $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} B_{n} = \emptyset$, e BETO é declarado vencedor se a interseção é não vazia.

Proposição 1:

Se $\left( X, \tau \right)$ é um compacto de Hausdorff, então BETO tem estratégia vencedora. Demonstração

Exercício 1:

Se $\left( X, d \right)$ é um espaço métrico completo, então BETO tem estratégia vencedora. Solução

Exercício 2:

Se BETO tem estratégia vencedora em dois espaços $X$ e $Y$, então BETO tem estratégia vencedora em $X \times Y$ Solução