Primeiro Axioma de Enumerabilidade
Dizemos que um espaço topológico $(X, \tau)$ satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade (1st countable) se, $\forall x \in X$, existe um sistema fundamental de vizinhanças enumerável. Neste caso, também dizemos que $(X, \tau)$ tem bases locais enumeráveis.
Seja $(X, d)$ espaço métrico. Uma sequência $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de pontos de $X$ é uma sequência de Cauchy se, $\forall \epsilon \in \mathbb{R}_{>0}$, $\exists n_0 \in \mathbb{N}$ tal que para $n,m \geq 0$, $d(x_n,x_m) < \epsilon$.
Mostre que a reta de Sorgenfrey satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade.
Prove que se $X$ é finito, então $(X, \tau)$ satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade.
Mostre que, se $X$ tem uma uma topologia discreta, então $(X \tau)$ sempre satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade.
Seja $(X, \tau)$ espaço topológico e $x_n \rightarrow x$, mostre que $x \in \overline{\{x_n : x \in \mathbb{N}\}}$
Seja $(X, d)$ um espaço métrico e $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ uma sequência de pontos de X tal que $x \rightarrow x_n$. Mostre que $(x_n)$ é uma sequência de Cauchy.
Segundo Axioma de Enumerabilidade
Dizemos que $(X, \tau)$ satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade (2nd countable) se admite uma base enumerável.
Mostre que um espaço que satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade também satisfaz o primeiro.
A reta real satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade?
Mostre que a reta de Sorgenfrey não satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade.
Prove que, se $(X, \tau)$ é um espaço regular que satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade, então $(X, \tau)$ é um espaço normal.
Terceiro Axioma de Enumerabilidade
Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Dizemos que $D \subset X$ é denso em $X$ se $\overline{D} = X$.
Dito isso, dizemos que $(X, \tau)$ satisfaz o terceiro axioma de enumerabilidade (3rd countable) se admite um subconjunto denso enumerável. Neste caso, dizemos também que $(X, \tau)$ é um espaço separável.
Verifique se os seguintes espaços são separáveis:
Dado um espaço topológico $(X, \tau)$, mostre que, se ele satisfaz ao segundo axioma de enumerabilidade, ele é separável.
Seja $(X, d)$ um espaço métrico e separável, mostre que ele satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade.
É verdade que todo subespaço de um espaço que tenha base enumerável é separável?
Espaços Metrizáveis
Dizemos que o espaço topológico $(X, \tau)$ é um espaço metrizável se existe uma métrica sobre X que induz a topologia $\tau$.
Mostre que cada subespaço de um espaço metrizável é metrizável.
A reta de Sorgenfrey é metrizável?
A “reta esburacada” consiste em $\mathbb{R}$ com a topologia gerada pelos conjuntos da forma $]a,b[\backslash C$, com $a < b \in C \subset \mathbb{R}$ é enumerável. Verifique se essa reta é metrizável ou não. Depois, verifique se ela é separável.