Sejam $(X,\tau)$ um espaço topológico e $A,B \subset X$ conexos não mutuamente separados. Vamos supor, por absurdo, que $A \cup B$ não é conexo. Então existem $U$ e $V$ mutuamente separados não vazios tais que $A \cup B = U \cup V$ e, portanto, $A \subset U \cup V$ e $B \subset U \cup V$. Como $A$ e $B$ são conexos e $U$ e $V$ são mutuamente separados, obtemos que $A \subset U$ ou $A \subset V$ e, analogamente, $B \subset U$ ou $B \subset V$.

• Se $A \subset U$ e $B \subset V$ (ou analogamente $A \subset V$ e $B \subset U$), perceba que, como $\overline{U} \cap V = \emptyset$ e $\overline{V} \cap U = \emptyset$, então $\overline{A} \cap B = \emptyset$ e $\overline{B} \cap A = \emptyset$, isto é, $A$ e $B$ são mutuamente separados, o que é um absurdo.
• Então $A,B \subset U$ ou $A,B \subset V$. Sem perda de generalidade, suponha o primeiro caso. Desta forma, $A \cup B \subset U$, ou ainda, $\overline{A\cup B} \subset \overline{U}$. Portanto, como $\overline{U} \cap V = \emptyset$, obtemos que $\overline{A \cup B} \cap V = \emptyset$. Entretanto, como $V \subset A \cup B \subset \overline{A \cup B}$ (pois $A \cup B = U \cup V$), concluímos que $V = \emptyset$, o que é um absurdo.

Portanto, $A \cup B$ é conexo.