Demonstração. Sejam $x\in X$, $F\subset X$ fechado, $x\not\in F$. Assim, existe $]a, b[$ aberto básico, $a, b\in X\cup\{\pm\infty\}$, $a\prec b$, com $x\in ]a, b[$ (i.e., $a\prec x\prec b$) e $]a, b[\cap F = \varnothing$.

• Se existe $c_1\in X$ tal que $a\prec c_1\prec x$, Tome $A_1 = ]c_1, +\infty[$, $B_1 = ]-\infty, c_1[$. Caso contrário, tome $A_1 = ]a, +\infty[$, $B_1 = ]-\infty, x[$.
• Se existe $c_2\in X$ tal que $x\prec c_2\prec b$, Tome $A_2 = ]-\infty, c_2[$, $B_2 = ]c_2, +\infty[$. Caso contrário, tome $A_2 = ]-\infty, b[$, $B_2 = ]x, +\infty[$.

Note que $A_1\cap B_1 = A_2\cap B_2 = \varnothing$, logo, se $A = A_1\cap A_2$ e $B = B_1\cup B_2$, temos $A\cap B = \varnothing$. Além disso, é claro que $A, B$ são abertos e tais que $x\in A$ e $F\subset B$.

Segue que $(X, \tau)$ satisfaz $T_3$.