Seja $X$ um conjunto. Dizemos que a relação $\preceq$ sobre $X$ é uma ordem se $\preceq$ satisfaz
Nesse caso, dizemos que $(X, \preceq)$ é um conjunto ordenado.
Dados $a, b\in X$, escrevemos $a\prec b$ se $a\preceq b$ e $a\neq b$.
Seja $(X, \preceq)$ um conjunto ordenado. Dizemos que $\preceq$ é uma ordem total se quaisquer dois elementos de $X$ são comparáveis por $\preceq$, isto é, se
Nesse caso, dizemos que $(X, \preceq)$ é um conjunto totalmente ordenado.
Seja $(X, \preceq)$ um conjunto ordenado. Dizemos que $\preceq$ é uma ordem densa se entre quaisquer dois elementos comparáveis e distintos de $X$ existe um terceiro elemento de $X$, isto é, se
Sejam $(X, \preceq)$, $(Y, \unlhd)$ conjuntos ordenados. Dizemos que $f:X\rightarrow Y$ preserva a ordem se $\forall a, b\in X$ $a\preceq b\implies f(a)\unlhd f(b)$. Se além disso $f$ é bijetora, dizemos que $f$ é um isomorfismo de ordem.
Seja $(X, \preceq)$ um conjunto totalmente ordenado. A topologia da ordem sobre $(X, \preceq)$ é a topologia gerada pelos conjuntos da forma $$]a, +\infty[~:=\{x\in X: a\prec x\}$$ $$]-\infty, b[~:=\{x\in X: x\prec b\}$$ $a, b\in X$.
Dados $a, b\in X$, definimos $]a, b[~:= \{x\in X: a\prec x\prec b\}$. Note que $]a, b[~=~]a, +\infty[~\cap~]-\infty, b[$.
Proposição. Seja $\tau$ a topologia da ordem sobre o conjunto totalmente ordenado $(X, \preceq)$. Então a família $\mathcal{B}$ dos conjuntos da forma $]a, +\infty[~$, $]-\infty, b[$ e $]a, b[$, $a, b\in X$, é base de $(X, \tau)$.
Proposição. Sejam $\tau$, $\rho$ as topologias da ordem sobre os conjuntos totalmente ordenados $(X, \preceq)$, $(Y, \unlhd)$, respectivamente. Se $f:X\rightarrow Y$ é um isomorfismo de ordem, então $f$ é homeomorfismo entre $(X, \tau)$ e $(Y, \rho)$.
Dados $a, b\in X$, podemos definir também $[a, +\infty[~:=\{x\in X: a\preceq x\}$, $]-\infty, b]~:=\{x\in X: x\preceq b\}$, $[a, b]~:= \{x\in X: a\preceq x\preceq b\}$.