Chame $D$ o conjunto dos pontos aderentes de $A$.

Vamos provar que $\overline{A} \subset D$:

• Seja $V$ aberto tal que $x \in V$ e suponha $V\cap A = \emptyset$, logo $A \subset X \setminus V$ que é fechado, assim, pela definição de $\overline{A}$, segue que $\overline{A} \subset X \setminus V$, contradição com o fato de que $x \in \overline{A}$ e $x \in V$.

Vamos provar que $D \subset \overline{A}$:

• Seja $x \in D$ e suponha $x \notin \overline{A}$, logo, $x \in X \setminus \overline{A}$ que é aberto, como $x \in D$, temos que $(X \setminus \overline{A})\cap A \neq \emptyset$, contradição, pois $A \subset \overline{A}$.

Juntando $\overline{A} \subset D$ e $D \subset \overline{A}$, temos que $D = \overline{A}$ $\square$