solucao:solprop4ptoacumulu

Vamos supor que $\mathcal{C}$ seja uma cobertura por abertos sem subcobertura finita, assim tomemos também $\mathcal{C}$ com a menor cardinalidade possível, sem perda de generalidade, e seja $\leq$ uma boa ordem sobre $\mathcal{C}$.
Assim para cada $C \in \mathcal{C}$ seja $x_c \in (X \setminus \bigcup_{D \leq C} D)$
- notemos que $|\{D \in \mathcal{C} : D < C\}|<|\mathcal{C}|$ e $\bigcup_{D < C} D \neq X$, portanto podemos tomar tal $x_c$ citado anteriormente, com isso $A = \{x_c : C \in \mathcal{C}\}$ é infinito
Vamos mostrar então que $A$ não admite ponto de acumulação completo, seja $x \in X$ e $D \in \mathcal{C}$ tal que $x \in D$, notemos então que $A \cap D \subset \{x_c : D < C\}$, portanto $|A \cap D|\leq|\{x_c:D<C\}|<|A|$, assim concluímos o resultado. $\square$