Tomemos $A \subset X$ infinito, vamos supor que todo $x \in X$ não é ponto de acumulação em $A$, portanto para todo $x \in X$, existe $V_x$ aberto tal que $x \in V_x$ e $V_x \cap A \subset \{x\}$, notemos então que tais $V_x$ formam uma cobertura aberta de $X$, e assim tem existe subcobertura finita, por $X$ ser compacto.

Com isso existem $x_1,x_2,\ldots,x_n \in X$ tal que $X \subset \bigcup^n_{i=1} V_x$, em particular já que $A \subset X$, $A \subset \cup^n_{i=1} V_x$, porém com isso $A \subset \{x_1,\ldots,x_n\}$, o que é uma contradição com $A$ ser infinito. $\square$