$\partial A \subset \overline{A}\cap \overline{X\setminus A}$:

• Tome $x \in \partial A \implies x \in A$ ou $x \in X\setminus A \implies x \in \overline{A}$ e $x \in \overline{X\setminus A}$, pois $x$ é ponto aderente de $\overline{A}$ e de $\overline{x\setminus A}$.

$\overline{A}\cap\overline{X\subset A} \subset \partial A$:

• Tome $x \in \overline{A}\cap\overline{X\subset A}$, pela definição de fecho, $x$ é ponto aderente de $\overline{A}$ e de $\overline{X\setminus A}$, para todo aberto $V$ tal que $x \in V$, temos que $V\cap \overline{A}\neq \emptyset$ e $V\cap\overline{X\setminus A}\neq \emptyset$, que é a definição de fronteira. $\square$