Vamos realizar uma indução, suponha todos os 3 nos casos triviais e assim iremos mostrar $[\![ a = b ]\!] [\![ b = c ]\!] \leq [\![ a = c ]\!]$, os outros dois são análogos:
Vamos primeiramente mostrar que $[\![ a \subset b ]\!] [\![ b = c ]\!] \leq [\![ a \subset c ]\!]$
$$\begin{array}{ll}
[\![ a \subset b ]\!] [\![ b = c ]\!] &= \displaystyle(\inf_{t \in dom(a)}(a(t)\rightarrow [\![ t \in b ]\!]))[\![ b = c ]\!]
\\
&= \displaystyle(\inf_{t \in dom(a)}(-a(t) + [\![ t \in b ]\!]))[\![ b = c ]\!]
\\
&= \displaystyle(\inf_{t \in dom(a)}([\![ b = c ]\!]-a(t) + [\![ b = c ]\!][\![ t \in b ]\!]))
\end{array}$$
E sabemos que $[\![ b = c ]\!]\cdot -a(t) \leq [\![ b = c ]\!], -a(t)$
Pela hipótese de indução sabemos que $[\![ t \in b ]\!] [\![ b = c ]\!] \leq [\![ t \in c ]\!]$
$$\begin{array}{ll}
[\![ a \subset b ]\!] [\![ b = c ]\!] &= \displaystyle(\inf_{t \in dom(a)}([\![ b = c ]\!]-a(t) + [\![ b = c ]\!][\![ t \in b ]\!]))
\\
&\leq \displaystyle(\inf_{t \in dom(a)}(-a(t) + [\![ t \in c ]\!])
\\
&\leq \displaystyle(\inf_{t \in dom(a)}(a(t)\rightarrow [\![ t \in c ]\!]))
\\
&\leq [\![ a \subset c ]\!]
\end{array}$$
Agora de maneira similar podemos mostrar que $[\![ c \subset b ]\!] [\![ a = b ]\!] \leq [\![ c \subset a ]\!]$
Com isso vamos unir as duas desigualdades e mostrar que $[\![ a = b ]\!] [\![ b = c ]\!] \leq [\![ b = c ]\!]$