Tomemos $B \in [\omega_1 \setminus A]^{\omega_1}$ tal que $G(x) \cap A \neq G(y) \cap A$ para $x,y \in B$ e $x \neq y$

Para $F \in [B]^{\omega_1}$, tome $G_F = G[A\cup F]$, se $\mathcal{I}(G) < 2^{\omega_1}$ então existe $G'$ de tamanho $\omega_1$ e $\mathcal{F} \subset [B]^{\omega_1}$ de tamanho $(2^\omega)^+$, de maneira que $G' \simeq G_F$ para $F \in \mathcal{F}$

Portanto existe $F_0 \neq F_1 \in \mathcal{F}$ e um isomorfismo $\pi$ entre $G_{F_0}$ e $G_{F_1}$ tal que $\pi\lceil A = id$, assim $\pi \lceil F_0 = F_0 \neq F_1$, um absurdo, pois $\pi$ deveria ser um isomorfismo.