Proposição. Sejam $(X,\tau)$ um espaço topológico e $x \in X$. Então, são equivalentes:

1. $x$ admite um sistema fundamental de vizinhanças enumerável;
2. $x$ admite uma base local enumerável.

Demonstração: Suponhamos que $x$ admite um sistema fundamental de vizinhanças enumerável $(V_n)_{n \in \mathbb{N}}$. Sendo assim, para cada $n \in \mathbb{N}$, existe $U_n \subset V_n$ tal que $U_n$ é aberto e $x \in U_n$. Vejamos que $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ é uma base local para $x$. De fato, se $U$ é aberto e $x \in U$, então existe $N \in \mathbb{N}$ tal que $x \in V_N \subset U$, ou seja, $x \in U_N \subset V_N \subset U$ e portanto $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ é uma base local em $x$. A recíproca é imediata.