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Definições
Resultado parcial
Lema
Lema
Teorema
Resolução resultado parcial
Discussão

Definições

Uma árvore é dita de Aronszajn se ela

Possuir altura não enumerável
Não possuir ramos não enumeráveis
Não possuir níveis não enumeráveis

Tal árvore é dita especial se

Existe uma função $f$ da árvore para os racionais que preserva a ordem, ou seja, se $x<y \iff f(x)< f(y)$.

Chamaremos de $\mathcal{K}$ uma família de tamanho $\omega_1$ sem cliques e sem conjuntos independentes de tamanho $\omega_1$.

Chamemos de $\mathcal{I}(G)$, com $G \in \mathcal{K}$, o conjunto de subgrafos induzidos de tamanho $\omega_1$, a menos de isomorfismos.

Resultado parcial

Se vale a hipótese do contínuo generalizada e se toda árvore de aronszajn for especial, então $|\mathcal{I}(G)|= 2^{\omega_1}$ para todo $G \in \mathcal{K}$.

A hípotese do contínuo generalizada diz que :

$\aleph_{\alpha+1} = 2^{\aleph_\alpha}$

Partition Tree:

Para todo $v \in \omega_1$, definimos $\gamma_v \in \omega_1$ e uma sequência $\langle \xi_\gamma^v : \gamma < \gamma_v \rangle$ da seguinte forma:
- $\xi_0^v = 0$ e se $\langle \xi_\alpha^v : \alpha < \gamma \rangle$ é bem definido, então:
  - $ \xi_\gamma^v = min \{\xi :\forall \alpha < \gamma, \xi > \xi_\alpha^v \text{ e } (\{\xi_\alpha^v,\xi\} \in E \text{ sse } \{\xi_\alpha^v,v\}\in E)\}$ \item E se $\xi_\gamma^v = v$, então $\gamma_v = \gamma$
- Dados $u,v \in \omega_1$ escrevemos $v \prec^G u \iff \xi_\gamma^v = \xi_\gamma^u$ para todo $ \gamma < \gamma_v$
- $\mathcal{T}^G = \langle \omega_1,\prec^G \rangle$ é a Partition Tree de $G$.

Diamond (Ouros):

Tomemos $F:(2^\omega)^{<\omega_1}\rightarrow 2$ e e $A \subset \omega_1$, dizemos que uma função $g : \omega_1 \rightarrow 2$ é $A$-ouros para $F$ para todo $h \in (2^\omega)^{\omega_1}$ se $\{\alpha \in A: F(h\lceil \alpha) = g(\alpha)\}$ é um subconjunto estacionário de $\omega_1$.

Pequeno subconjunto :

$A \subset \omega_1$ é dito um pequeno subconjunto de $\omega_1$ se para algum $F:(2^\omega)^{<\omega_1}\rightarrow 2$ nenhuma função é $A$-ouros para $F$.
$\tau = \{ A \subset \omega_1 : A \text{ é pequeno subconjunto de } \omega_1 \}$

Lema

Tomando $G \in \mathcal{K}$, $A \in [\omega_1]^{\omega_1}$ e $|\{G(x)\cap A:x \in \omega_1\}| = \omega_1$, então $|\mathcal{I}(G)| \geq 2^{\omega_1}$ Solução

Lema

Se $G = (\omega_1,E) \in \mathcal{K}$ com $|\mathcal{I}(G)| < 2^{\omega_1}$, então $\mathcal{T}^G$ é uma árvore de Aronazajn. Solução

Teorema

Se $2^\omega < 2^{\omega_1}$ então $\tau$ é enumeravelmente completo $(\forall H \subset F, H \text{ é enumerável } \implies \cap H \in F)$, próprio e ideal em $\omega_1$. Solução

Resolução resultado parcial

Se vale a hipótese do contínuo generalizada e se toda árvore de aronszajn for especial, então $|\mathcal{I}(G)|= 2^{\omega_1}$ para todo $G \in \mathcal{K}$.

Tomemos $G=(\omega_1,E) \in \mathcal{K}$ e vamos supor por absurdo que $|\mathcal{I}(G)| < 2^{\omega_1}$
Pela hipótese do contínuo generalizada $2^{\omega_1} = \omega_2$ e assim podemos criar a sequência $\langle G_v : v < \omega_1 \rangle$ de grafos tal que para cada $Y \in [\omega_1]^{\omega_1}$ existe $v < \omega_1$ com $G[Y] \simeq G_v$, assim criamos $G_v = (\omega_1,E_v)$
Consideremos então a árvore de Aronszajn $\mathcal{T}_G = (\omega_1,\prec^G)$, por suposição temos que ela é especial e pelo teorema anterior como $\tau = \{ A \subset \omega_1 : A \text{ é pequeno subconjunto de } \omega_1 \}$ é enumeralvelmente completo e ideal, existe uma anticadeia $S \in \mathcal{T}_G$ tal que $S \notin \tau$
Vamos então criar o conjunto $A = \{\alpha \in \omega_1 : \exists \gamma \in S \text{ tq } \alpha \prec^G \gamma \}$
- Segue dele a seguinte propriedade:

$$\forall \gamma \in S \forall p \in (S\cup A)\setminus(\gamma + 1), \exists \alpha \in A\cap \gamma \text{ tq } (\{\gamma,\alpha\} \in E \text{ sse } \{p,\gamma\} \notin E)$$

Realmente, se para cada $\alpha \in A\cap \gamma$ temos $\{\gamma,\alpha\} \in E$ sse $\{p,\alpha\} \in E$, temos $\gamma \prec^G p$, é assegurado pela contrução de $\mathcal{T}^G$.

Tomemos então $v\in \omega_1$, $\gamma \in S$, $T \subset S\cap \gamma$ e $f: G[(A\cap \gamma)\cup T] \rightarrow G_v$ um mergulho, vamos definir então $F(v,\gamma,T,f) \in 2$ da seguinte forma:

$$F(v,\gamma,T,f)= 1 \text{ se } \exists x \in G_v \text{ tq } \forall \alpha \in A\cap \gamma \{x,f(\alpha)\} \in E_v \text { sse } \{\gamma,\alpha\} \in E$$

Podemos ver $F$ como uma função de $(2^\omega)^{\omega_1}$ para 2.

Já que $S \notin \tau$, existe $g \in 2^{\omega_1}$ $S$-ouros para $F$ tal que para todo $v \in \omega_1$, $T\subset S$, $f:G[A\cup T]\simeq G_v$ e o conjunto

$$S_T = \{\gamma \in S : g(\gamma) = F(v,\gamma,T\cap \gamma,f\lceil \gamma)\}$$

é estacionário, possuindo intersecção com todo os conjuntos Clubs (Subconjuntos dos ordinais limites).

Tomemos então $T = \{\gamma \in S:g(\gamma) = 0\}$

Tomemos também um ordinal $v < \omega_1$ e uma função $f:G[A\cup T]\simeq G_v$
Para cada $\gamma < \omega_1$ tal que $\gamma = \omega \gamma$ pela propriedade

$$\forall \gamma \in S \forall p \in (S\cup A)\setminus(\gamma + 1), \exists \alpha \in A\cap \gamma \text{ tq } (\{\gamma,\alpha\} \in E \text{ sse } \{p,\gamma\} \notin E)$$

Segue que :

$$\gamma \in T \text{ sse } \exists x \in \omega_1 \forall \alpha \in S \cap \gamma \text{ tq } \{x,f(\alpha)\} \in E_v \text{ sse } \{\gamma,\alpha\} \in E$$

Assim $g(\gamma) = 0$ se e somente se $F(v,\gamma,T\cap \gamma,f\lceil \gamma) = 1$ para cada $\gamma \in S$, ou seja, $S_t = \emptyset$, o que gera uma contradição.