O teorema de Menger associa o grau de conexidade de um grafo a existência de caminhos disjuntos (arestas). Entretanto o teorema não fornece uma maneira de encontrar tais caminhos. Considere a seguinte definição :
Um empacotamento de grafos (árvores) $T_1,\ldots,T_n$ em um grafo $G$ são subgrafos $S_i \approx T_i$ de $G$ cujas arestas são duas a duas disjuntas.
Analogamente um recobrimento de $G$ por (árvores) $T_1,\ldots,T_n$ são cópias isomorfas destes grafos, realizados como subgrafos de $G$, cobrindo todas as arestas de $G$.
Podemos nos perguntar se existe
Suponha que podemos empacotar $k$ árvores geradoras de $G$ em $G$.
Logo se temos tais árvores, ficaria fácil construir estes caminhos. Isso nos motiva a encontrar bons empacotamentos de árvores com boas propriedades.
Seja $T$ uma árvore geradora de $G$.
Seja $\mathcal{T} \doteq (T_1,\ldots,T_k)$ uma coleção (ordenada) de árvores. A coleção de arestas $E(\mathcal{T})$ é a reunião das arestas de cada uma destas árvores.
Uma cadeia de troca de arestas é uma sequencia de arestas $(e_0,\ldots,e_n)$ se
Lema: Seja $e_0,\ldots,e_n$ sequencia de troca de arestas para $\mathcal{T}$. Se $e_0$ pertence a duas árvores, então podemos encontrar família $\mathcal{T}'$ com $E(\mathcal{T}) \subsetneq E(\mathcal{T}')$.
Teorema do recobrimento por empacotamentos [Bowler-Carmesin]: Para todo multigrafo e todo $k \in \mathbb{N}$, existe uma partição $\mathcal{P}$ de $\mathrm{V}(G)$ tal que
Seja $c:\mathrm{V}(G) \to r$ uma coloração 2). Uma aresta é dita de cruzamento se suas extremidades tem cores distintas.
Lema das arestas de cruzamento: Uma $r$-coloração de uma árvore gera ao menos $r-1$ arestas de cruzamento em $T$.
Demonstração:
Temos as seguintes condições necessárias para empacotamento de $k$-árvores geradoras:
Teorema de Nash-Williams: A condição [2] é suficiente para que exista empacotamento de $k$ árvores geradoras.
Demonstração:
Corolário: Todo grafo $2k$-conexo por arestas empacota $k$ árvores geradoras.
Demonstração:
Suponha que $G$ (conexo) pode ser recoberto por $k$ árvores geradoras (de $G$).
O teorema a seguir afirma que a condição necessária obtida acima, para que um grafo possua recobrimento por $k$ de suas árvores geradoras, é na verdade suficiente.
Teorema: Um grafo pode ser recoberto por $k$ de suas árvores geradoras se, e somente se, para todo subconjunto de vértices $U$ temos que $|E(G[U])| \leq k(|U|-1)$.
Demonstração :
A arboricidade de um grafo $G$ é a menor quantidade de árvores geradoras de $G$ necessárias para recobrí-lo.
Note que o teorema acima nos diz que a arboricidade de $G$ é \[ \left\lceil \sup \left\{ \frac{|E(G[U])|}{|U|-1} \, : \, U \subset \mathrm{V}(G) \right\} \right\rceil \]