Neste parágrafo, vamos argumentar porque um grafo conexo $G = (V,E)$ com $\Delta(G)\leq 2$ é um caminho ou um ciclo. Isso é feito pela análise dos seguintes dois casos:

• Se existe $v\in V$ de grau $1$, fixe $P\subset G$ um subgrafo que é um caminho de comprimento máximo partindo de $v$. Enumere os vértices de $P$ como $v_1,v_2,\dots,v_n$, respeitando a ordem em que são conectados por $P$. Como $v$ tem grau $1$, seu único vizinho é $v_2$. Além disso, todo $v_i$ com $1 < i < n$ tem apenas $v_{i-1}$ e $v_{i+1}$ como vizinhos em $G$, pois todo vértice desse grafo tem no máximo dois adjacentes. Ou seja, $P$ é um subgrafo induzido de $G$. Por um momento, suponha que exista um vértice $u\in V\setminus V(P) $. Como $G$ é conexo, deve haver um caminho $Q$ conectanto $v$ a algum vértice $v_i$ de $P$. Sem perda de generalidade, podemos assumir que $v_i$ é o único vértice simultaneamente em $Q$ e $P$. Note que $i$ não pode ser menor que $n$: nesse caso, $v_i$ tem dois vizinhos em $P$ e um em $Q$, contradizendo o fato de que $d(v_i) = 2$. Se $i = n$, contudo, o caminho $P$ pode ser estendido, contradizendo sua maximalidade. Logo, $G$ é, na realidade, o caminho $P$.
• Se todo vértice de $G$ tem grau dois, sabemos que $G$ não é uma árvore. Afinal, o Lema do Aperto de Mão nos garante que $G$ tem exatamente a mesma quantidade vértices e de arestas, e não uma aresta a menos. Existe então $C$ um subgrafo de $G$ que é um ciclo. Ao tomarmos ele de menor comprimento possível, podemos supor que $C$ é, na verdade, um subgrafo induzido de $G$. Por um momento, suponha que existe $v\in V\setminus V(C)$. Visto que $G$ é conexo, existe $P$ um caminho conectando $v$ a algum vértice de $C$. Tomando esse caminho de modo que exista apenas um vértice $u$ simultaneamente em $P$ e em $C$, obtemos uma contradição: o vértice $u$ tem dois vizinhos em $C$ e um em $P$. Logo, $G$ é, na realidade, o ciclo $C$.