Suponha $\varphi \in F_{k+1}$ tal que $\varphi(v_1,dots,v_n) = \exists y \phi(y,v_1,\dots,v_n)$ com $\phi \in F_k$ e assim por hipótese de indução temos que $\phi(x,x_1,\dots,x_n) \iff [\![\phi(\check{x},\check{x_1},\dots,\check{x_n})]\!]_2 = 1$.
Suponha que vale $\varphi(x_1,dots,x_n)$, logo vale $\exists y \phi(y,x_1,\dots,x_n)$, portanto existe $x$ tal que vale $\phi(x,x_1,\dots,x_n)$, com isso segue que $[\![\phi(\check{x},\check{x_1},\dots,\check{x_n})]\!]_2 = 1$, então $[\![\exists y\phi(y,x_1,\dots,x_n)]\!]_2 = 1$ e portanto $[\![\varphi(\check{x_1},\dots,\check{x_n})]\!]_2 = 1$.
Suponha $[\![\varphi(\check{x_1},\dots,\check{x_n})]\!]_2 = 1$, assim $[\![\exists\phi(y,x_1,\dots,x_n)]\!]_2 = 1$, portanto existe um nome $l$ de maneira que $[\![\phi(l,\check{x_1},\dots,\check{x_n})]\!]_2 = 1$, assim existe um nome $x$ tal que $[\![\check{x} = l]\!]_2 = 1$ e segue $[\![\phi(\check{x},\check{x_1},\dots,\check{x_n})]\!]_2 = 1$ e pela hipótese de indução, vale $\phi(x,x_1,\dots,x_n)$, com isso vale $\exists y \phi(y,x_1,\dots,x_n)$ e portanto vale $\varphi(x_1,\dots,x_n)$. $\square$