Para ver que $X$ é separável, basta observar que $X \cap \mathbb{Q}^2$ é denso em $X$ e é enumerável. Como $X$ é uma espaço métrico, então $X$ deve possuir base enumerável (ver espaços métricos separáveis). Se possui base enumerável, então possui bases locais enumeráveis (ver bases enumeráveis).