$X$ é conexo:
Com o auxílio da figura, observamos que $A$ e $B$ são conexos por caminhos, portanto, são conexos. Também observamos que todo ponto de $B$ é um ponto de aderência de $A$, assim, $B \subset \overline{A}$, então $A \subset X = A\cup B \subset \overline{A}$, dessa forma, $X$ é conexo.
$X$ não é conexo por caminhos:
Suponha por absurdo que $X$ é conexo por caminhos, então existiria uma função contínua $f: [0,1] \to X$ tal que $f(0) = (0,1)$ e $f(1) = (1,1)$, pois estes dois pontos pertencem a $X$. Defina $\alpha = \sup\{ x \in [0,1] ~\vert~ f([0,x]) \subset B \}$ ($\alpha$ é bem definido, pois $f([0,0]) = f(\{ 0\})=\{(0,1)\} \subset B$), é claro que $\alpha \in [0,1]$, então $f(\alpha) \in A$ ou $f(\alpha) \in B$. No primeiro caso, note que $A \subset \mathbb{R}^2 \backslash (B \cup \{(0,0) \})$, este conjunto é aberto em $\mathbb{R}^2$, pois $B \cup \{(0,0) \}$ é fechado, logo, existe uma bola $B_\epsilon (f(\alpha))$ tal que $B_\epsilon (f(\alpha)) \subset \mathbb{R}^2 \backslash (B \cup \{(0,0) \})$ e, em particular, $B_\epsilon (f(\alpha)) \cap B = \varnothing$. Por outro lado, aplicando a definição de continuidade de $f$ em $\alpha$, existe uma vizinhança $V$ de $\alpha$ tal que $f(V) \subset B_\epsilon(f(\alpha))$, então existe um intervalo $(\alpha-\delta, \alpha) \subset V$ (\delta > 0) tal que $f((\alpha-\delta)) \subset B_\epsilon(f(\alpha))$ e consequentemente $f((\alpha-\delta, \alpha)) \cap B = \varnothing$. Finalmente, pela definição de $\alpha$, deve existir $\beta \in (\alpha-\delta, \alpha)$ com $f(\beta) \in B$ e isso contradiz o último fato observado. Agora suponha $f(\alpha) \in B$, sempre é possível obter $\epsilon > 0$ tal que $(0,0) \notin B(\epsilon(f(\alpha))$. Pela continuidade de $f$ em $\alpha$ existe um intervalo aberto $V$ tal que $f(V) \subset B_\epsilon(f(\alpha))$. Por um argumento análogo ao do caso anterior, há um intervalo $(\alpha, \alpha + \delta) \subset V$ tal que $f((\alpha,\alpha+\delta)) \subset B_\epsilon(f(\alpha))$. Agora veja que pela definição de $\alpha$, deve existir algum $\beta \in (\alpha, \alpha+\delta)$ tal que $f(\beta) \in A$, caso contrário, $\alpha$ não seria um supremo. Isso mostra que, no intervalo $V$, $f$ assume valores em $B$ e em $A$, então $f(V)$ não pode ser conexo, pois $f(V) \subset B_\epsilon(f(\alpha))$ e este último é um conjunto composto por retas verticais. Isso é uma contradição, pois $V$ é conexo e funções contínuas preservam conexidade. Concluímos então que tal função $f$ não pode existir, então $X$ não é conexo por caminhos.