Seja $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ uma sequência de Cauchy em $\mathbb{R}^n$. Então, existe $n_0 \in \mathbb{Z_{+}}$ tal que $n,m \geq n_0$ implica $|x_m-x_n|<1$. Logo, para todo $m \geq n_0$ temos que $|x_m| < 1+|x_{n_0}|$. Portanto, a sequência $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ é limitada, pois $\lbrace x_n \rbrace_{n \in \mathbb{N}} \subset \lbrace x_1,\ldots,x_n \rbrace \cup B_{(1+|x_{n_0}|)}(0)$. Sendo assim, podemos supor que tal sequência está contida em uma bola fechada (compacta) e portanto completa (cf), fazendo que que $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ seja convergente.