Demonstração

Vamos considerar a aplicação de inclusão $i: A\to X$. Temos então que $r\circ i: A\to A$ é tal que $r(i(a)) = r(a) = a,~\forall a\in A$. Ou seja, $r\circ i = Id_A$. Por outro lado, tomando $i\circ r: X\to X$, temos que $i(r(x)) = r(x), ~\forall x\in X$. Portanto, $i\circ r = r: X\to X$. Mas, como $r$ é retração de deformação, temos que $r\simeq Id_X$. Portanto, $i\circ r \simeq Id_X$. Assim, concluímos que $A$ e $X$ são de fato homotopicamente equivalentes.